Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n滿足S_n=p（S_n-a_n）+（p為大于0的常數(shù)），且a₁是6a₃與a₂的等差中項(xiàng)．
（I）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（II）若a_n•b_n=2n+1，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

【答案】分析：（I）當(dāng)n≥2時，利用a_n=S_n-S_n-1即可得出a_n，n=1時單獨(dú)考慮，再利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出；
（II）由（I）得，利用“錯位相減法”即可得出其前n項(xiàng)和．
解答：解：（I）當(dāng)n=1時，，得．
當(dāng)n≥2時，，
，
兩式相減得a_n=pa_n-1，即．
故{a_n}是首項(xiàng)為，公比為p的等比數(shù)列，
∴．
由題意可得：2a₁=6a₃+a₂，，
化為6p²+p-2=0．
解得p=或（舍去）．
∴=．
（II）由（I）得，
則，
+（2n-1）×2ⁿ+（2n+1）×2ⁿ⁺¹，
兩式相減得-T_n=3×2+2×（2²+2³+…+2ⁿ）-（2n+1）×2ⁿ⁺¹
=
=-2-（2n-1）×2ⁿ⁺¹，
∴．
點(diǎn)評：熟練掌握：當(dāng)n≥2時，利用a_n=S_n-S_n-1，a₁=S₁；等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，“錯位相減法”是解題的關(guān)鍵．