Question

如圖，在底面是正方形的四棱錐P-ABCD中，平面PCD⊥平面ABCD，PC=PD=CD=2．
（I）求證：PD⊥BC；
（II）求二面角B-PD-C的正切值．

Answer 1

分析：（I）取CD的中點(diǎn)為O，連接PO，過(guò)O作OM⊥CD交AB于M，以O(shè)為原點(diǎn)，OM、OC、OP分別為x、y、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
則可得出向量

PD

、

BC

的坐標(biāo)，計(jì)算它們的數(shù)量積得到0，可得PD⊥BC；
（II）取PD的中點(diǎn)E，連接CE、BE，則可證出CE⊥PD且BE⊥PD，∠CEB為二面角B-PD-C的平面角．利用空間向量的夾角公式，算出∠BEC的余弦之值，再用同角三角函數(shù)基本關(guān)系算出∠BEC的正切之值，即為所求．

解答：解：（I）取CD的中點(diǎn)為O，連接PO，
∵PD=PC，∴PO⊥CD，
∵平面PCD⊥平面ABCD，平面PCD∩平面ABCD=CD，
∴PO⊥平面ABCD，
如圖，在平面ABCD內(nèi)，過(guò)O作OM⊥CD交AB于M，以O(shè)為原點(diǎn)，OM、OC、OP分別
為x、y、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系（如圖），
可得B（2，1，0），C（0，1，0），D（0，-1，0），P（0，0，

3

）…（4分）

∴ PD =(0，-1，- 3 )， BC =(-2，0，0)．

由此可得

PD • BC =

0×（-2）+（-1）×0+（-

3

）×0=0，所以

PD ⊥ BC

∴PD⊥BC；…（6分）
（II）取PD的中點(diǎn)E，連接CE、BE，則E(0，-

1

2

，

3

2

)，
∵△PCD為正三角形，∴CE⊥PD
∵

BD =(-2，2，0)， BP =(-2，-1， 3 )，

∴

| BD |=| BP |=2 2 ．

∵E是PD中點(diǎn)，
∴BE⊥PD
∴∠CEB為二面角B-PD-C的平面角．…（9分）
∵

EB =(2， 3 2 ，- 3 2 )， EC =(0， 3 2 ，- 3 2 )，

∴

cos∠BEC= EB • EC | EB || EC | = 21 7 ．

由同角三角函數(shù)基本關(guān)系，得sin∠BEC=

1-cos2∠BEC

=

2 7

7

∴tan∠CEB=

sin∠BEC

cos∠BEC

=

2 3

3

，即二面角B-PD-C的正切值等于

2 3

3

．…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題在四棱錐中，證明了線線垂直并求二面角的正切之值，著重考查了利用空間坐標(biāo)系解決空間的垂直、空間兩個(gè)平面所成角等知識(shí)，屬于中檔題．