Question

已知函數(shù)f（x）=x+

m

|x|

-1（x≠0）．
（1）當(dāng)m=1時，判斷f（x）在（-∞，0）上的單調(diào)性，并用定義證明；
（2）當(dāng)m＞0時，討論并求f（x）的零點．

Answer 1

考點：函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì),函數(shù)零點的判定定理

專題：計算題,分類討論,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）f（x）在（-∞，0）上為增函數(shù)．運用函數(shù)的單調(diào)性的定義加以證明，注意取值、作差、變形和定符號、下結(jié)論幾個步驟；
（2）討論當(dāng)x＞0時，當(dāng)0＜m＜

1

4

時，當(dāng)m=

1

4

時，當(dāng)m＞

1

4

時，以及當(dāng)x＜0時，通過二次方程解的情況，即可判斷零點個數(shù)．

解答： 解：（1）f（x）在（-∞，0）上為增函數(shù)．
理由如下：令x₁＜x₂＜0，則f（x₁）-f（x₂）=x₁-

1

x1

-1-（x₂-

1

x2

-1）
=（x₁-x₂）+

x1-x2

x1x2

=（x₁-x₂）（1+

1

x1x2

），
由x₁＜x₂＜0，則x₁-x₂＜0，x₁x₂＞0，則有f（x₁）-f（x₂）＜0，
則f（x））在（-∞，0）上為增函數(shù)；
（2）當(dāng)x＞0時，f（x）=x+

m

x

-1=0，x²-x+m=0，△=1-4m，
當(dāng)0＜m＜

1

4

時，x=

1± 1-4m

2

；當(dāng)m=

1

4

時，x=

1

2

；當(dāng)m＞

1

4

時，方程無實數(shù)解．
當(dāng)x＜0時，f（x）=x-

m

x

-1=0，x²-x-m=0，△=1+4m＞1（m＞0），
解得，x=

1- 1+4m

2

．
綜上可得，當(dāng)0＜m＜

1

4

時，f（x）有三個零點，分別為

1- 1+4m

2

，

1- 1-4m

2

，

1+ 1-4m

2

；
當(dāng)m=

1

4

時，f（x）有兩個零點，分別為

1

2

，

1- 2

2

；
當(dāng)m＞

1

4

時，f（x）有一個零點，則為

1- 1+4m

2

．

點評：本題考查函數(shù)的單調(diào)性的判斷以及證明，考查函數(shù)的零點的判斷，考查分類討論的思想方法，考查運算能力，屬于中檔題和易錯題．