精英家教網 > 高中數學 > 題目詳情
已知函數f(x)=lnx-
1
4
x+
3
4x
-1,g(x)=x2-2bx+4,若對任意x1∈(0,2),存在x2∈[1,2],使f(x1)≥g(x2),則實數b的取值范圍是(  )
分析:首先對f(x)進行求導,利用導數研究函數f(x)的最值問題,根據題意對任意x1∈(0,2),存在x2∈[1,2],使f(x1)≥g(x2),只要f(x)的最小值大于等于g(x)的最小值即可,對g(x)的圖象進行討論根據對稱軸研究g(x)的最值問題,從而進行求解;
解答:解:∵函數f(x)=lnx-
1
4
x+
3
4x
-1,(x>0)
∴f′(x)=
1
x
-
1
4
+
-3
4x2
=
4x-x2-3
4x2
=-
(x-1)(x-3)
4x2

若f′(x)>0,1<x<3,f(x)為增函數;若f′(x)<0,x>3或0<x<1,f(x)為減函數;
f(x)在x∈(0,2)上有極值,
f(x)在x=1處取極小值也是最小值f(x)min=f(1)=-
1
4
+
3
4
-1=-
1
2
;
∵g(x)=x2-2bx+4=(x-b)2+4-b2,對稱軸x=b,x∈[1,2],
當b≤
3
2
時,g(x)在x=1處取最小值g(x)min=g(1)=1-2b=4=5-2b;
當b>
3
2
時,g(x)在[1,2]上是減函數,g(x)min=g(2)=4-4b+4=8-4b;
∵對任意x1∈(0,2),存在x2∈[1,2],使f(x1)≥g(x2),
∴只要f(x)的最小值大于等于g(x)的最小值即可,
當b≤
3
2
時,-
1
2
≥5-2b,解得b≥
11
4
,故b無解;當b>
3
2
時,-
1
2
≥8-4b,解得b≥
17
8
,
綜上:b≥
17
8
,
故選C;
點評:本題考查了利用導數求閉區(qū)間上函數的最值,求函數在閉區(qū)間[a,b]上的最大值與最小值是通過比較函數在(a,b)內所有極值與端點函數f(a),f(b) 比較而得到的,此題還涉及函數的恒成立問題,注意問題最終轉化為求函數的最值問題上;
練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數學 來源: 題型:

已知函數f(x)=2x-2+ae-x(a∈R)
(1)若曲線y=f(x)在點(1,f(1))處的切線平行于x軸,求a的值;
(2)當a=1時,若直線l:y=kx-2與曲線y=f(x)在(-∞,0)上有公共點,求k的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目:高中數學 來源: 題型:

已知函數f(x)=x2+2|lnx-1|.
(1)求函數y=f(x)的最小值;
(2)證明:對任意x∈[1,+∞),lnx≥
2(x-1)
x+1
恒成立;
(3)對于函數f(x)圖象上的不同兩點A(x1,y1),B(x2,y2)(x1<x2),如果在函數f(x)圖象上存在點M(x0,y0)(其中x0∈(x1,x2))使得點M處的切線l∥AB,則稱直線AB存在“伴侶切線”.特別地,當x0=
x1+x2
2
時,又稱直線AB存在“中值伴侶切線”.試問:當x≥e時,對于函數f(x)圖象上不同兩點A、B,直線AB是否存在“中值伴侶切線”?證明你的結論.

查看答案和解析>>

科目:高中數學 來源: 題型:

已知函數f(x)=x2-bx的圖象在點A(1,f(1))處的切線l與直線x+3y-1=0垂直,若數列{
1
f(n)
}的前n項和為Sn,則S2012的值為(  )

查看答案和解析>>

科目:高中數學 來源: 題型:

已知函數f(x)=xlnx
(Ⅰ)求函數f(x)的極值點;
(Ⅱ)若直線l過點(0,-1),并且與曲線y=f(x)相切,求直線l的方程.

查看答案和解析>>

科目:高中數學 來源: 題型:

已知函數f(x)=
3
x
a
+
3
(a-1)
x
,a≠0且a≠1.
(1)試就實數a的不同取值,寫出該函數的單調增區(qū)間;
(2)已知當x>0時,函數在(0,
6
)上單調遞減,在(
6
,+∞)上單調遞增,求a的值并寫出函數的解析式;
(3)記(2)中的函數圖象為曲線C,試問是否存在經過原點的直線l,使得l為曲線C的對稱軸?若存在,求出直線l的方程;若不存在,請說明理由.

查看答案和解析>>

同步練習冊答案