Question

已知橢圓C1：

x2

a2

+

y2

b2

=

1

(a＞b＞0)右焦點(diǎn)F是拋物線C2：y2=2p

x

(p＞0)的焦點(diǎn)，M(

2

3

，m)是C₁與C₂在第一象限內(nèi)的交點(diǎn)，且|MF|=

5

3

．
（Ⅰ）求C₁與C₂的方程；
（Ⅱ）設(shè)A（0，t）（t＞0）為y軸上的動點(diǎn)，過點(diǎn)A作直線l與直線AF垂直，試探究直線l與橢圓C₁的位置關(guān)系．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先由拋物線定義及|MF₂|=

5

3

，求出p的值，將點(diǎn)M的坐標(biāo)代入拋物線方程，進(jìn)而求其坐標(biāo)，再由橢圓焦點(diǎn)為F（1，0），又過M點(diǎn)，用待定系數(shù)法求出橢圓方程；
（Ⅱ）由題意知直線AF的斜率存在且求得其斜率，求出直線l的斜率，寫出直線方程，和橢圓方程聯(lián)立后化為關(guān)于x的一元二次方程，寫出判別式后由t的范圍得到判別式的符號，從而直線和橢圓的位置關(guān)系．

解答：解：（Ⅰ）∵點(diǎn)M(

2

3

，m)在拋物線上，且|MF2|=

5

3

，拋物線準(zhǔn)線為x=-

p

2

，
∴

2

3

+

p

2

=

5

3

，解得：p=2，
∴拋物線方程為y²=4x，
點(diǎn)M(

2

3

，m)代入y²=4x得m=

2 6

3

，
所以點(diǎn)M(

2

3

，

2 6

3

)，
由它在橢圓上及橢圓右焦點(diǎn)為F（1，0）
得

a2-b2=1 ( 2 3 )2 a2 + ( 2 6 3 )2 b2 =1

，解得

a2=4 b2=3

，
所以橢圓方程為

x2

4

+

y2

3

=1；
（Ⅱ） 由k_AF=-t得kl=

1

t

，
則直線l的方程為y=

1

t

x+t，即x=t（y-t），代人橢圓方程為

x2

4

+

y2

3

=1，
得（3t²+4）y²-6t³y+3t⁴-12=0
則△=36t⁶-4（3t²+4）（3t⁴-12）=-48（t²+1）（t+2）（t-2）
∵t＞0，∴t+2＞0，t²+1＞0
∴當(dāng)0＜t＜2時，△＞0，此時直線l與橢圓C₁相交；
當(dāng)t=2時，△=0，此時直線l與橢圓C₁相切；
當(dāng)t＞2時，△＜0，此時直線l與橢圓C₁相離．

點(diǎn)評：本題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、直線與橢圓的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，是中檔題．