(2013•眉山一模)在銳角△ABC中,三個(gè)內(nèi)角A,B,C所對的邊依次為a,b,c,設(shè)
m
=(sin(
π
4
-A),1),
n
=(2sin(
π
4
+1),-1),a=2
3
,且
m
n
=-
3
2

(1)若b=2
2
,求△ABC的面積;
(2)求b+c的最大值.
分析:(1)通過向量的數(shù)量積二倍角的余弦函數(shù),求出A的二倍角的余弦值,然后求出A.通過正弦定理求出R,然后求出三角形的面積.
(2)解法1:由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA,結(jié)合不等式求出b+c的最大值為4
3

解法2:由正弦定理得:
b
sinB
=
c
sinC
,利用兩角和與差的三角函數(shù),根據(jù)角的范圍,求出b+c的最大值.
解答:解:(1)
m
n
=2sin(
π
4
-A)sin(
π
4
+A)-1
=2sin(
π
4
-A)cos(
π
4
-A)-1
=sin(
π
2
-2A)-1=cos2A-1=-
3
2
,
∴cos2A=-
1
2
,…(3分)
∵0<A<
π
2
,∴0<2A<π,∴2A=
3
,A=
π
3
   …(4分)
設(shè)△ABC的外接圓半徑為R,由a=2RsinA得2
3
=2R×
3
2
,∴R=2
由b=2RsinB得sinB=
2
2
,又b<a,∴B=
π
4
,…(5分)
∴sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB=
3
2
2
2
+
1
2
2
2
=
6
+
2
4
,…(6分)
∴△ABC的面積為S=
1
2
absinC=
1
2
•2
3
•2
2
6
+
2
4
=3+
3
.…(7分)
(2)解法1:由a2=b2+c2-2bccosA,得b2+c2-bc=12,…(9分)
∴(b+c)2=3bc+12≤3(
b+c
2
2+12,…(11分)
∴(b+c)2≤48,即b+c≤4
3
,(當(dāng)且僅當(dāng)b=c時(shí)取等號)
從而b+c的最大值為4
3
.…(12分)
解法2:由正弦定理得:
b
sinB
=
c
sinC
=
a
sinA
=
2
3
sin
π
3
=4,又B+C=π-A=
3
,…(8分)
∴b+c=4(sinB+sinC)=4[sinB+sin(
3
-B)]=6sinB+2
3
cosB=4
3
sin(B+
π
6
),…(10分)
∴當(dāng)B+
π
6
=
π
2
,即B=
π
3
時(shí),b+c取得最大值4
3
.…(12分)
點(diǎn)評:本題考查正弦定理與余弦定理,三角形的面積公式,兩角和與差的三角函數(shù)的應(yīng)用,考查計(jì)算能力,轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用.
練習(xí)冊系列答案
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(2013•眉山一模)函數(shù)f(x)=
lg|x|
x2
的大致圖象為( 。

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2
i
等于(  )

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(2)若f(x)≤0恒成立,試確定實(shí)數(shù)k的取值范圍;
(3)證明:
n
i=2
lni
i+1
n(n-1)
4
(n∈N+,n>1).

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