Question

如圖，四棱錐S-ABCD的底面是邊長為1的正方形，SD垂直于底面ABCD，SB=

3

．
（I）求證BC⊥SC；
（II）求面ASD與面BSC所成二面角的大小；
（III）設(shè)棱SA的中點(diǎn)為M，求異面直線DM與SB所成角的大小．

Answer 1

分析：（I）寫出兩條直線所在的向量，利用它們的數(shù)量級(jí)等于可得兩條直線垂直．
（II）分別求出兩個(gè)平面的法向量，利用空間向量的一個(gè)知識(shí)求出兩個(gè)向量的夾角，進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為兩個(gè)平面的夾角．
（III）分別求出兩條直線所在的向量，求出兩個(gè)向量的夾角，由線線角與向量的夾角關(guān)系求出異面直線DM與SB所成角的大小．

解答：解：如圖所示，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系，
則D（0，0，0），A（1，0，0），B（1，1，0），C（0，1，0），M（

1

2

，0，

1

2

），
∵SB=

3

，DB=

2

，SD=1，
∴S（0，0，1）．
（I）證明：∵

SC

=(0，1，-1)，

BC

=(-1，0，0)
∴

BC

•

SC

=0
∴

BC

⊥

SC

，即BC⊥SC．
（II）設(shè)二面角的平面角為θ，由題意可知平面ASD的一個(gè)法向量為

DC

=(0，1，0)，設(shè)平面BSC的法向量為

n

=(x，y，1)，
由

SC • n =0 BC • n =0

得到

y-1=0 -x=0

解得x=0，y=1．所以

n

=(0，1，1)，
所以cosθ=

| DC • n |

| DC || n |

=

2

2

，
∴面ASD與面BSC所成的二面角為45°．
（III）設(shè)異面直線DM與SB所成角為α，
∵

DM

=(

1

2

，0，

1

2

)，SB=（-1，-1，1），
∴cosα=

| DM • SB |

| DM || SB |

=0
∴異面直線DM與SB所成角為90°．

點(diǎn)評(píng)：解決此類問題的關(guān)鍵是結(jié)合幾何體的結(jié)構(gòu)特征建立空間直角坐標(biāo)系，對(duì)于運(yùn)算能力有較強(qiáng)的要求．