已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）過(guò)點(diǎn)（0，1），且離心率為
3
2
．
（1）求橢圓C的方程；
（2）A，B為橢圓C的左右頂點(diǎn)，點(diǎn)P是橢圓C上異于A，B的動(dòng)點(diǎn)，直線AP，BP分別交直線l：x=2
2
于E，F(xiàn)兩點(diǎn)．證明：以線段EF為直徑的圓恒過(guò)x軸上的定點(diǎn)．
（1）由題意可知，b=1，…（1分）
∵e=
c
a
=
3
2
，a2=b2+c2．…（3分）
∴a=2，…（4分）
∴橢圓的方程為
x2
4
+y2=1．…（5分）
（2）證明：由題可得A（-2，0），B（2，0）．
設(shè)P（x0，y0），由題意可得，直線AP的方程為y=
y0
x0+2
(x+2)，…（7分）
令x=2
2
，則y=
(2
2
+2)y0
x0+2
，即E（2
2
，
(2
2
+2)y0
x0+2
）；                    …（8分）
直線BP的方程為y=
y0
x0-2
(x-2)，…（9分）
令x=2
2
，則y=
(2
2
-2)y0
x0-2
，即F（2
2
，
(2
2
-2)y0
x0-2
）；                   …（10分）
設(shè)點(diǎn)M（m，0）在以線段EF為直徑的圓上，則
ME
•
MF
=0，…（11分）
即(m-2
2
)2+
4y02
x02-4
=0，…（12分）
∵
x02
4
+y02=1，即4y02=4-x02，
∴(m-2
2
)2=1，
∴m=2
2
+1或m=2
2
-1．…（13分）
所以以線段EF為直徑的圓必過(guò)x軸上的定點(diǎn)（2
2
+1，0）或（2
2
-1，0）．…（14分）
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的離心率為
1
2
，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(1，
3
2
)．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)F是橢圓C的左焦，判斷以PF為直徑的圓與以橢圓長(zhǎng)軸為直徑的圓的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的短軸長(zhǎng)為2
3
，右焦點(diǎn)F與拋物線y2=4x的焦點(diǎn)重合，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)A、B是橢圓C上的不同兩點(diǎn)，點(diǎn)D（-4，0），且滿足
DA
=λ
DB
，若λ∈[
3
8
，
1
2
]，求直線AB的斜率的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（1，
3
2
），且離心率e=
3
2
．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）過(guò)點(diǎn)B（-1，0）能否作出直線l，使l與橢圓C交于M、N兩點(diǎn)，且以MN為直徑的圓經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O．若存在，求出直線l的方程；若不存在，說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2012•房山區(qū)二模）已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的長(zhǎng)軸長(zhǎng)是4，離心率為
1
2
．
（Ⅰ）求橢圓方程；
（Ⅱ）設(shè)過(guò)點(diǎn)P（0，-2）的直線l交橢圓于M，N兩點(diǎn)，且M，N不與橢圓的頂點(diǎn)重合，若以MN為直徑的圓過(guò)橢圓C的右頂點(diǎn)A，求直線l的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的短軸長(zhǎng)為2，離心率為
2
2
，設(shè)過(guò)右焦點(diǎn)的直線l與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)A，B，過(guò)A，B作直線x=2的垂線AP，BQ，垂足分別為P，Q．記λ=
AP+BQ
PQ
，若直線l的斜率k≥
3
，則λ的取值范圍為
 
．

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