Question

14．已知△ABC的外接圓半徑為R，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若asinBcosC+$\frac{3}{2}$csinC=$\frac{2}{R}$，則△ABC面積的最大值為（　�。�

• A． $\frac{2}{5}$
• B． $\frac{4}{5}$
• C． $\frac{2\sqrt{5}}{5}$
• D． $\frac{12}{5}$

Answer 1

分析 由asinBcosC+$\frac{3}{2}$csinC=$\frac{2}{R}$，可得：a²+b²+2c²=8⇒a²+b²+=8-2c²，s²=$\frac{1}{4}{a}^{2}^{2}（1-co{s}^{2}C）$=$\frac{1}{4}{a}^{2}^{2}-\frac{（8-3{c}^{2}）^{2}}{16}$$≤\frac{（{a}^{2}+^{2}）^{2}}{16}-\frac{（8-{3c}^{2}）^{2}}{16}$=-$\frac{5}{16}{c}^{4}+{c}^{2}$即可求解．

解答 解：∵asinBcosC+$\frac{3}{2}$csinC=$\frac{2}{R}$，
∴$\frac{ab}{2}$cosC+$\frac{3}{4}{c}^{2}$=2，可得$\frac{{a}^{2}+^{2}-{c}^{2}}{4}$+$\frac{3}{4}{c}^{2}$=2，
可得：a²+b²+2c²=8⇒a²+b²=8-2c²，
∵s=$\frac{1}{2}absinC$，∴s²=$\frac{1}{4}{a}^{2}^{2}（1-co{s}^{2}C）$=$\frac{1}{4}{a}^{2}^{2}-\frac{（8-3{c}^{2}）^{2}}{16}$
$≤\frac{（{a}^{2}+^{2}）^{2}}{16}-\frac{（8-{3c}^{2}）^{2}}{16}$=-$\frac{5}{16}{c}^{4}+{c}^{2}$
∴a=b，且c²=$\frac{8}{5}$時，面積△ABC面積的最大值為$\frac{2\sqrt{5}}{5}$
故選：C

點(diǎn)評 本題考查了解三角形，三角面積最值，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．