Question

設(shè)a是正數(shù)，ax+y=2（x≥0，y≥0），記y+3x-

1

2

x²的最大值是M（a），試求：
（1）M（a）的表達式；（2）M（a）的最小值．

Answer 1

分析：（1）將代數(shù)式y(tǒng)+3x-

1

2

x²表示為一個字母，由ax+y=2解出y后代入消元，建立關(guān)于x的二次函數(shù)，逐步進行分類求M（a）．
（2）由（1）知）M（a）是分段函數(shù)，對每一段進行求最小值，然后從中選最小的，作為M（a）的最小值．

解答：解：（1）設(shè)S（x）=y+3x-

1

2

x²，將y=2-ax代入消去y，得：
S（x）=2-ax+3x-

1

2

x²
=-

1

2

x²+（3-a）x+2
=-

1

2

[x-（3-a）]²+

1

2

（3-a）²+2（x≥0）
∵y≥0∴2-ax≥0
而a＞0∴0≤x≤

2

a

下面分三種情況求M（a）
（i）當0＜3-a＜

2

a

（a＞0），即

0＜a＜3 a2- 3a+2＞0

時
解得0＜a＜1或2＜a＜3時
M（a）=S（3-a）=

1

2

（3-a）²+2
（ii）當3-a≥

2

a

（a＞0）即

a＞0 a2- 3a+2≤0

時，
解得：1≤a≤2，這時
M（a）=S（

2

a

）=2-a•+3•

2

a

-

1

2

•(

2

a

)2=-

2

a2

+

6

a

（iii）當3-a≤0；即a≥3時
M（a）=S（0）=2
綜上所述得：
M（a）=

1 2 (3-a)2+2   (0＜a＜1) - 2 a2 + 6 a         1≤a≤2 1 2 (3-a)2+2    (2＜a＜3) 2        (a≥3)

（2）下面分情況探討M（a）的最小值．
當0＜a＜1或2＜a＜3時
M（a）=

1

2

（3-a）²+2＞2
當1≤a≤2時
M（a）=-

2

a2

+

6

a

=-2（

1

a

-

3

2

）²+

9

2

∵1≤a≤2?

1

2

≤

1

a

≤1
∴當

1

a

=

1

2

時，M（a）取小值，即
M（a）≥M（2）=

5

2

當a≥3時，M（a）=2
經(jīng)過比較上述各類中M（a）的最小者，可得M（a）的最小值是2．

點評：本題主要考查函數(shù)思想的和分類討論思想．解題經(jīng)驗的積累，有利于解題思路的挖掘，對參數(shù)a的分類，完全依據(jù)二次函數(shù)頂點的橫坐標3-a是否在定義域區(qū)間[0，

2

a

]內(nèi)，這樣就引出三種討論情況，找出解題的方案．