已知點(diǎn)，，動(dòng)點(diǎn)的軌跡曲線滿足，，過點(diǎn)的直線交曲線于、兩點(diǎn).

(1)求的值，并寫出曲線的方程；

(2)求△面積的最大值.

【命題意圖】本小題考查橢圓的定義及標(biāo)準(zhǔn)方程，直線和橢圓的綜合應(yīng)用，考查學(xué)生的邏輯思維能力和運(yùn)算求解能力.

【試題解析】解：(1)設(shè)，在△中，，，根據(jù)余弦定理得.                 （2分）

即.

.

而，所以. 

所以.　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　  （4分）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

又，

因此點(diǎn)的軌跡是以、為焦點(diǎn)的橢圓（點(diǎn)在軸上也符合題意），

，.

所以曲線的方程為.                              　    （6分）

(2)設(shè)直線的方程為.

由，消去x并整理得.          ①

顯然方程①的,設(shè),,則

由韋達(dá)定理得，.                  （9分）

所以.

令，則，.

由于函數(shù)在上是增函數(shù).

所以，當(dāng)，即時(shí)取等號(hào).

所以，即的最大值為3.

所以△面積的最大值為3，此時(shí)直線的方程為.            （12分）

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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知點(diǎn)是⊙：上的任意一點(diǎn)，過作垂直軸于,動(dòng)點(diǎn)滿足。

（1）求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程；

（2）已知點(diǎn)，在動(dòng)點(diǎn)的軌跡上是否存在兩個(gè)不重合的兩點(diǎn)、，使 (O是坐標(biāo)原點(diǎn))，若存在，求出直線的方程，若不存在，請(qǐng)說明理由。

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：2010-2011學(xué)年福建省高三上學(xué)期第三次月考理科數(shù)學(xué)卷 題型：解答題

(本題滿分14分)

已知點(diǎn)是⊙：上的任意一點(diǎn)，過作垂直軸于,動(dòng)點(diǎn)滿足。

（1）求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程； 

（2）已知點(diǎn)，在動(dòng)點(diǎn)的軌跡上是否存在兩個(gè)不重合的兩點(diǎn)、，使 (O是坐標(biāo)原點(diǎn))，若存在，求出直線的方程，若不存在，請(qǐng)說明理由。

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：2013屆天津市高二第一學(xué)期期末理科數(shù)學(xué)試卷 題型：解答題

已知點(diǎn)是⊙：上的任意一點(diǎn)，過作垂直軸于,動(dòng)點(diǎn)滿足。

（1）求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程；

（2）已知點(diǎn)，在動(dòng)點(diǎn)的軌跡上是否存在兩個(gè)不重合的兩點(diǎn)、，使 (O是坐標(biāo)原點(diǎn))，若存在，求出直線的方程，若不存在，請(qǐng)說明理由

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：2010年黑龍江省高二上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)理卷 題型：解答題

（本題10分） 已知點(diǎn)是⊙：上的任意一點(diǎn)，過作垂直軸于,動(dòng)點(diǎn)滿足。

（1）求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程；

（2）已知點(diǎn)，在動(dòng)點(diǎn)的軌跡上是否存在兩個(gè)不重合的兩點(diǎn)、，使 (O是坐標(biāo)原點(diǎn))，若存在，求出直線的方程，若不存在，請(qǐng)說明理由。

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（本題滿分14分）

       已知點(diǎn)是⊙：上的任意一點(diǎn)，過作垂直軸于,動(dòng)點(diǎn)滿足。

（1）求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程；

（2）已知點(diǎn)，在動(dòng)點(diǎn)的軌跡上是否存在兩個(gè)不重合的兩點(diǎn)、，使 （O是坐標(biāo)原點(diǎn)），若存在，求出直線的方程，若不存在，請(qǐng)說明理由。

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