已知點，，動點的軌跡曲線滿足，，過點的直線交曲線于、兩點.

(1)求的值，并寫出曲線的方程；

(2)求△面積的最大值.

【命題意圖】本小題考查橢圓的定義及標準方程，直線和橢圓的綜合應用，考查學生的邏輯思維能力和運算求解能力.

【試題解析】解：(1)設(shè)，在△中，，，根據(jù)余弦定理得.                 （2分）

即.

.

而，所以. 

所以.　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　  （4分）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

又，

因此點的軌跡是以、為焦點的橢圓（點在軸上也符合題意），

，.

所以曲線的方程為.                              　    （6分）

(2)設(shè)直線的方程為.

由，消去x并整理得.          ①

顯然方程①的,設(shè),,則

由韋達定理得，.                  （9分）

所以.

令，則，.

由于函數(shù)在上是增函數(shù).

所以，當，即時取等號.

所以，即的最大值為3.

所以△面積的最大值為3，此時直線的方程為.            （12分）

練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知點是⊙：上的任意一點，過作垂直軸于,動點滿足。

（1）求動點的軌跡方程；

（2）已知點，在動點的軌跡上是否存在兩個不重合的兩點、，使 (O是坐標原點)，若存在，求出直線的方程，若不存在，請說明理由。

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科目：高中數(shù)學 來源：2010-2011學年福建省高三上學期第三次月考理科數(shù)學卷 題型：解答題

(本題滿分14分)

已知點是⊙：上的任意一點，過作垂直軸于,動點滿足。

（1）求動點的軌跡方程； 

（2）已知點，在動點的軌跡上是否存在兩個不重合的兩點、，使 (O是坐標原點)，若存在，求出直線的方程，若不存在，請說明理由。

 

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科目：高中數(shù)學 來源：2013屆天津市高二第一學期期末理科數(shù)學試卷 題型：解答題

已知點是⊙：上的任意一點，過作垂直軸于,動點滿足。

（1）求動點的軌跡方程；

（2）已知點，在動點的軌跡上是否存在兩個不重合的兩點、，使 (O是坐標原點)，若存在，求出直線的方程，若不存在，請說明理由

 

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科目：高中數(shù)學 來源：2010年黑龍江省高二上學期期中考試數(shù)學理卷 題型：解答題

（本題10分） 已知點是⊙：上的任意一點，過作垂直軸于,動點滿足。

（1）求動點的軌跡方程；

（2）已知點，在動點的軌跡上是否存在兩個不重合的兩點、，使 (O是坐標原點)，若存在，求出直線的方程，若不存在，請說明理由。

 

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（本題滿分14分）

       已知點是⊙：上的任意一點，過作垂直軸于,動點滿足。

（1）求動點的軌跡方程；

（2）已知點，在動點的軌跡上是否存在兩個不重合的兩點、，使 （O是坐標原點），若存在，求出直線的方程，若不存在，請說明理由。

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