Question

函數(shù)y=f（x）是定義在R上的增函數(shù)，函數(shù)y=f（x-1）的圖象關(guān)于點(diǎn)（1，0）對(duì)稱，若任意的x∈R，不等式f（ax²）+f（ax+1）＞0恒成立，則a的取值范圍為（　　）

A．（0，4）

B．[0，4）

C．（-4，0）

D．（-4，0]

Answer 1

分析：根據(jù)函數(shù)圖象變換以及函數(shù)y=f（x-1）的圖象關(guān)于點(diǎn)（1，0）對(duì)稱，可以得到y(tǒng)=f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（0，0）對(duì)稱，從而確定了函數(shù)f（x）的奇偶性，再利用奇偶性將不等式f（ax²）+f（ax+1）＞0對(duì)任意的x∈R恒成立，轉(zhuǎn)化為f（ax²）＞f（-ax-1）對(duì)任意的x∈R恒成立，利用函數(shù)的單調(diào)性去掉“f”，得到ax²+ax+1＞0對(duì)任意的x∈R恒成立，從而求得實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答：解：∵y=f（x-1）是由y=f（x）的圖象向右平移1個(gè)單位得到的，
又函數(shù)y=f（x-1）的圖象關(guān)于點(diǎn)（1，0）對(duì)稱，
∴y=f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（0，0）對(duì)稱，
∴y=f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，
∴f（-x）=f（x），
∴不等式f（ax²）+f（ax+1）＞0，即為f（ax²）＞-f（ax+1），即f（ax²）＞f（-ax-1），
∵任意的x∈R，不等式f（ax²）+f（ax+1）＞0恒成立，
∴f（ax²）＞f（-ax-1）對(duì)任意的x∈R恒成立，
∵函數(shù)y=f（x）是定義在R上的增函數(shù)，
∴ax²＞-ax-1對(duì)任意的x∈R恒成立，即ax²+ax+1＞0對(duì)任意的x∈R恒成立，
①當(dāng)a=0時(shí)，不等式為1＞0恒成立，符合題意；
②當(dāng)a≠0時(shí)，則有

a＞0 △=a2-4a＜0

，解得0＜a＜4，
綜合①②，a的取值范圍為[0，4）．
故選B．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了抽象函數(shù)及其應(yīng)用，函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明，函數(shù)的恒成立問(wèn)題，利用函數(shù)的單調(diào)性求解不等式，解決本題的關(guān)鍵是綜合運(yùn)用函數(shù)性質(zhì)把抽象不等式化為具體不等式．同時(shí)考查了恒成立問(wèn)題，對(duì)于函數(shù)的恒成立問(wèn)題，一般選用參變量分離法、最值法、數(shù)形結(jié)合法進(jìn)行求解．本題選用了參變量分離的方法轉(zhuǎn)化成二次函數(shù)求最值問(wèn)題．屬于函數(shù)知識(shí)的綜合應(yīng)用．屬于中檔題．