Question

9．已知函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱，當(dāng)x=1時(shí)，f（x）=1；當(dāng)x＞1時(shí)，f（x）=$\frac{1}{x-1}$．若方程f²（x）+bf（x）+c=0恰有3個(gè)不同的實(shí)根x₁，x₂，x₃，則x₁+x₂+x₃=3．

Answer 1

分析 作出f（x）的圖象，根據(jù)函數(shù)圖象的特點(diǎn)得到函數(shù)關(guān)于直線x=1對(duì)稱．從而得出f²（x）+bf（x）+c=0必有一根使f（x）=1，利用數(shù)形結(jié)合即可得到結(jié)論．

解答 解：作出函數(shù)的圖象如圖：
設(shè)t=f（x），
則當(dāng)t=1時(shí)，方程f（x）=t有3個(gè)根，
當(dāng)t＞0且t≠1時(shí)，方程f（x）=t有2個(gè)根，
當(dāng)t≤0時(shí)，方程f（x）=t有0個(gè)根，
對(duì)于方程f²（x）+bf（x）+c=0，是一個(gè)關(guān)于f（x）的一元二次方程，
若方程f²（x）+bf（x）+c=0，有3個(gè)不等的實(shí)數(shù)根x₁，x₂，x₃，
則此一元二次方程僅有一根，即t=1，f（x）=1，
此時(shí)x₁，x₂，x₃三個(gè)數(shù)中有一個(gè)是1，另兩個(gè)關(guān)于x=1對(duì)稱，此時(shí)有 x₁+x₂+x₃=3，
故答案為：3．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查方程根的個(gè)數(shù)的應(yīng)用，利用數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵，考查學(xué)生的綜合應(yīng)用能力