Question

已知點F（0，1），直線l：y=-1，P為平面上的動點，過點P作直線l的垂線，垂足為Q，且

QP

•

QF

=

FP

•

FQ

，動點P的軌跡為C，已知圓M過定點D（0，2），圓心M在軌跡C上運動，且圓M與x軸交于A、B兩點，設(shè)|DA|=l₁，|DB|=l₂，則

l1

l2

+

l2

l1

的最大值為（　�。�

• A、2
• B、3
• C、2

  2

• D、3

  2

Answer 1

考點：基本不等式,平面向量的綜合題

專題：不等式的解法及應(yīng)用,圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：如圖所示，設(shè)P（x，y），則Q（x，-1），由

QP

•

QF

=

FP

•

FQ

，利用數(shù)量積運算得到動點P的軌跡C為：x²=4y．設(shè)M(a，

a2

4

)．（a∈R）．得到⊙M的方程為：(x-a)2+(y-

a2

4

)2=a2+(

a2

4

-2)2．令y=0，則x²-2ax+a²=4，可得A（a+2，0），B（a-2，0）．利用兩點之間的距離公式可得|DA|=l₁，|DB|=l₂．當a≠0時，

l1

l2

+

l2

l1

=

l 2 1 + l 2 2

l1l2

=

2a2+16

a4+64

變形利用基本不等式即可得出．a(chǎn)=0，直接得出．

解答： 解：如圖所示，
設(shè)P（x，y），則Q（x，-1），
∵

QP

•

QF

=

FP

•

FQ

，
∴（0，y+1）•（-x，2）=（x，y-1）•（x，-2），
∴2（y+1）=x²-2（y-1），
化為x²=4y．
∴動點P的軌跡C為：x²=4y．
設(shè)M(a，

a2

4

)．（a∈R）．
則⊙M的方程為：(x-a)2+(y-

a2

4

)2=a2+(

a2

4

-2)2．
化為x2-2ax+y2-

a2

2

y=4-a2．
令y=0，則x²-2ax+a²=4，
解得x=a+2，或a-2．
取A（a+2，0），B（a-2，0）．
∴|DA|=l₁=

(a+2)2+4

，
|DB|=l₂=

(a-2)2+4

．
當a≠0時，

l1

l2

+

l2

l1

=

l 2 1 + l 2 2

l1l2

=

2a2+16

a4+64

=2

(a2+8)2 a4+64

=2

1+ 16a2 a4+64

=2

1+ 16 a2+ 64 a2

≤2

1+ 16 2 a2• 64 a2

=2

2

，當且僅當a=±2

2

時取等號．
當a=0時，

l1

l2

+

l2

l1

=2．
綜上可得：

l1

l2

+

l2

l1

的最大值為2

2

．
故選：C．

點評：本題綜合考查了數(shù)量積的運算、點的軌跡方程、兩點之間的距離公式、基本不等式的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識與基本技能方法，考查了推理能力和計算能力，考查了分類討論的思想方法，屬于難題．