Question

已知函數(shù)f(x)=

sin2x (sinx+cosx)

cosx

．
（Ⅰ）求f（x）的定義域及最小正周期；
（Ⅱ）求f（x）在區(qū)間[-

π

6

，

π

4

]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由函數(shù)的解析式可得 cosx≠0，所以x≠kπ+

π

2

，k∈Z．由此求得函數(shù)f（x）的定義域．再利用三角函數(shù)的恒等變換化簡函數(shù)f（x）的解析式為

2

sin(2x-

π

4

)+1，由此可得函數(shù)的周期T=

2π

2

．
（Ⅱ）根據(jù)-

π

6

≤x≤

π

4

，利用正弦函數(shù)的定義域和值域求得最大值和最小值．

解答：解：（Ⅰ）由函數(shù)的解析式可得 cosx≠0，所以x≠kπ+

π

2

，k∈Z．
所以函數(shù)f（x）的定義域為{x |x≠kπ+

π

2

， k∈Z}．…（2分）
再由 f(x)=

sin2x(sinx+cosx)

cosx

=2sinx（sinx+cosx）=2sin²x+sin2x=

2

sin(2x-

π

4

)+1，…（5分）
可得函數(shù)的周期T=

2π

2

=π．…（7分）
（Ⅱ）因為-

π

6

≤x≤

π

4

，所以-

7π

12

≤2x-

π

4

≤

π

4

．…（9分）
故當2x-

π

4

=

π

4

時，即x=

π

4

時，函數(shù)f（x）取得最大值為

2

×

2

2

+1=2；      …（11分）
當2x-

π

4

=-

π

2

時，即x=-

π

8

時，函數(shù)f（x）取得最小值為

2

×（-1）+1=-

2

+1．…（13分）

點評：本題主要考查三角函數(shù)的恒等變換及化簡求值，三角函數(shù)的周期性和求法，正弦函數(shù)的定義域和值域，屬于中檔題．