已知函數(shù)f(x)=log3(ax+b)的圖象經(jīng)過點(diǎn)A(2,1)和B(5,2),記an=3f(n),n∈N*
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2)設(shè)bn=
an2n
,Tn=b1+b2+…+bn
,,求Tn
分析:(1)由題意得
log3(2a+b)=1
log3(5a+b)=2
,解得
a=2
b=-1
,所以f(x)=log3(2x-1),由此能求出數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.
(2)由bn=
2n-1
2n
,得Tn=
1
21
+
3
22
+
5
23
++
2n-3
2n-1
+
2n-1
2n
,再由錯(cuò)位相減法能夠得到Tn
解答:解:(1)由題意得
log3(2a+b)=1
log3(5a+b)=2
,解得
a=2
b=-1
,∴f(x)=log3(2x-1)an=3log3(2n-1)=2n-1,n∈N*
(2)由(1)得bn=
2n-1
2n
,∴Tn=
1
21
+
3
22
+
5
23
++
2n-3
2n-1
+
2n-1
2n
1
2
Tn
1
22
+
3
23
++
2n-5
2n-1
+
2n-3
2n
+
2n-1
2n+1
②;
①-②得
1
2
Tn=
1
21
+
2
22
+
2
23
++
2
2n-1
+
2
2n
-
2n-1
2n+1
=
1
21
+(
1
21
+
1
22
++
1
2n-2
+
1
2n-1
)-
2n-1
2n+1
=
3
2
-
1
2n-1
-
2n-1
2n+1
,
Tn=3-
1
2n-2
-
2n-1
2n
=3-
2n+3
2n
點(diǎn)評(píng):本題考查數(shù)列的遞推公式和前n項(xiàng)和的求解,解題時(shí)要認(rèn)真審題,注意函數(shù)思想和錯(cuò)位相減求和法的合理運(yùn)用.
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相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=2x-2+ae-x(a∈R)
(1)若曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線平行于x軸,求a的值;
(2)當(dāng)a=1時(shí),若直線l:y=kx-2與曲線y=f(x)在(-∞,0)上有公共點(diǎn),求k的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=x2+2|lnx-1|.
(1)求函數(shù)y=f(x)的最小值;
(2)證明:對(duì)任意x∈[1,+∞),lnx≥
2(x-1)
x+1
恒成立;
(3)對(duì)于函數(shù)f(x)圖象上的不同兩點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2)(x1<x2),如果在函數(shù)f(x)圖象上存在點(diǎn)M(x0,y0)(其中x0∈(x1,x2))使得點(diǎn)M處的切線l∥AB,則稱直線AB存在“伴侶切線”.特別地,當(dāng)x0=
x1+x2
2
時(shí),又稱直線AB存在“中值伴侶切線”.試問:當(dāng)x≥e時(shí),對(duì)于函數(shù)f(x)圖象上不同兩點(diǎn)A、B,直線AB是否存在“中值伴侶切線”?證明你的結(jié)論.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=x2-bx的圖象在點(diǎn)A(1,f(1))處的切線l與直線x+3y-1=0垂直,若數(shù)列{
1
f(n)
}的前n項(xiàng)和為Sn,則S2012的值為(  )

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=xlnx
(Ⅰ)求函數(shù)f(x)的極值點(diǎn);
(Ⅱ)若直線l過點(diǎn)(0,-1),并且與曲線y=f(x)相切,求直線l的方程.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=
3
x
a
+
3
(a-1)
x
,a≠0且a≠1.
(1)試就實(shí)數(shù)a的不同取值,寫出該函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間;
(2)已知當(dāng)x>0時(shí),函數(shù)在(0,
6
)上單調(diào)遞減,在(
6
,+∞)上單調(diào)遞增,求a的值并寫出函數(shù)的解析式;
(3)記(2)中的函數(shù)圖象為曲線C,試問是否存在經(jīng)過原點(diǎn)的直線l,使得l為曲線C的對(duì)稱軸?若存在,求出直線l的方程;若不存在,請(qǐng)說明理由.

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