Question

如圖，P是拋物線C：y＝x²上一點，直線l過點P且與拋物線C交于另一點Q．

(1)若直線l與過點P的切線垂直，求線段PQ中點M的軌跡方程；

(2)若直線l不過原點且與x軸交于點S，與y軸交于點T，試求＋的取值范圍．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)設(shè)P(x1，y1)，Q(x2，y2)，M(x0，y0)，依題意x1≠0，y1＞0，y2＞0．由y＝x2，①得＝x． 　　∴過點P的切線的斜率k切＝x1， 　　∴直線l的斜率k1＝－＝－， 　　∴直線l的方程為y－x12＝－(x－x1)， 　　方法一：聯(lián)立①②消去y，得x2＋x－x12－2＝0． 　　∵M(jìn)是PQ的中點，∴ 　　消去x1得y0＝x02＋＋1(x0≠0)， 　　∴PQ中點M的軌跡方程為y＝x2＋＋1(x≠0)． 　　方法二：由y1＝x12，y2＝x22，x0＝， 　　得y1－y2＝x22－x22＝(x1＋x2)(x1－x2)＝x0·(x1－x2)， 　　則x0＝＝k1＝－，∴x1＝－， 　　將上式代入②并整理，得y0＝x02＋＋1(x0≠0)， 　　∴PQ中點M的軌跡方程為y＝x2＋＋1(y≠0) 　　(2)設(shè)直線l：y＝kx＋b，依題意k≠0，b≠0，則T(0，b)． 　　別過P、Q作⊥x軸，⊥y軸，垂足分別為、，則 　　＋＝＋＝＋． 　　由消去x，得y2－2(k2＋b)y＋b2＝0．　�、� 　　則 　　方法一：∴＋＝|b|(＋)≥2|b|＝2|b|＝2． 　　∵y1、y2可取一切不相等的正數(shù)， 　　∴＋的取值范圍是(2，＋∞)． 　　方法二：∴＋＝|b|＝|b|． 　　當(dāng)b＞0時，＋＝b＝＝＋2＞2； 　　當(dāng)＜0時，＋＝－b＝． 　　又由方程③有兩個相異實根，得Δ＝4(k2＋b)2－4b2＝4k2(k2＋2b)＞0， 　　于是k2＋2b＞0，即k2＞－2b． 　　所以＋＞＝2． 　　∵當(dāng)b＞0時，可取一切正數(shù)，∴＋的取值范圍是(2，＋∞)． 　　方法三：由P、Q、T三點共線得kTQ＝kTQ， 　　即＝．則x1y2－bx1＝x2y1－bx2，即 　　b(x2－x1)＝(x2y1－x1y2)． 　　于是b＝＝－x1x2， 　　∴＋＝＋＝＋＝＋≥2． 　　∵可取一切不等于1的正數(shù)， 　　∴＋的取值范圍是(2，＋∞)． 　　分析：本題主要考查直線、拋物線、不等式等基礎(chǔ)知識，求軌跡方程的方法，解析幾何的基本思想和綜合解題能力．