Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，AB∥CD，CD=2AB，AB⊥平面PAD，E為PC的中點．
（1）求證：BE∥平面PAD；
（2）若AD⊥PB，求證：PA⊥平面ABCD；
（3）若點M在棱PD上，且有

PM

MD

=2，試在棱BC上
確定一點H，使得MH∥平面PAB．

Answer 1

分析：（1）取PD的中點F，通過證四邊形ABEF為平行四邊形，證得BE∥AF，再由線線平行⇒線面平行；
（2）先證PA⊥AB，PA⊥AD，再由線面垂直的判定定理得線面垂直；
（3）在AD上取點O，使AO=2OD，再過O作OH∥AB，交BC于H，可證平面PAB∥平面OMH，由面面平行的性質(zhì)可得MH∥平面PAB，故H即為所求．

解答：（1）證明：取PD中點F，連接EF、AF，則EF為△PDC的中位線，
∴EF∥CD，EF=

1

2

CD，即CD=2EF．
又AB∥CD，CD=2AB
∴AB=EF且AB∥EF，∴四邊形ABEF為平行四邊形．
∴BE∥AF，AF?平面PAD，BE?平面PAD，
∴BE∥平面PAD．
（2）∵AB⊥平面PAD，∴AB⊥AD，AB⊥PA
又AD⊥PB，PB?平面PAB，AB?平面PAB，PB∩AB=B，
∴AD⊥平面PAB，PA?平面PAB，∴AD⊥PA，又AB∩AD=A，
∴PA⊥平面ABCD．
（3）在AD上取點O，使AO=2OD，連接OM，
過O作OH∥AB，交BC于H，∵

DM

MP

=

DO

OA

=

1

2

，∴MO∥PA，
又PA、AB?平面PAB，MO、OH?平面PAB，
∴MO∥平面PAB，OH∥平面PAB，MO∩OH=O，
∴平面PAB∥平面OMH，MH?平面OMH，
∴MH∥平面PAB．

點評：本題考查了線面平行的判定，線面垂直的判定，證明線面平行通常有兩種思路，1、由線線平行⇒線面平行；2、由面面平行⇒線面平行．