Question

如圖，橢圓的長軸A₁A₂與x軸平行，短軸B₁B₂在y軸上，中心為M（0，r）（b＞r＞0）．
（1）寫出橢圓的方程，求橢圓的焦點坐標及離心率．
（2）直線y=k₁x交橢圓于兩點C（x₁，y₁），D（x₂，y₂）（y₂＞0）；直線y=k₂x交橢圓于兩點G（x₃，y₃），H（x₄，y₄）（y₄＞0）．
求證：

k1x1x2

x1+x2

=

k2x3x4

x3+x4

．
（3）對于（2）中的C、D、G、H，設CH交x軸于點P，GD交x軸于點Q．
求證：|OP|=|OQ|．
（證明過程不考慮CH或GD垂直于x軸的情形）

Answer 1

分析：（1）如圖可知橢圓的頂點坐標，根據(jù)橢圓的性質(zhì)可分別得出橢圓的長半軸和短半軸，進而得到橢圓的方程．再根據(jù)橢圓中a，b，c的關系求得c，進而可得橢圓的焦點和離心率．
（2）將直線CD的方程y=k₁x代入橢圓方程，整理后根據(jù)韋達定理求得x₁+x₂和x₁x₂的值，兩式相除可得

r2-b2

2k1r

=

x1x2

x1+x2

，同理可得

x3x4

x3+x4

=

r2-b2

2k1r

，整理后進而可得

k1x1x2

x1+x2

=

k2x3x4

x3+x4

．
（3）設點P（p，0），點Q（q，0），根據(jù)C，P，H共線，得

x1- p

x4-p

=

k2x1

k2x4

，求得p；同樣的方法求得q，由

k1x1x2

x1+x2

=

k2x3x4

x3+x4

變形后即可證明所以|p|=|q|，原式得證．

解答：解：（1）如圖可知橢圓的方程為

x2

a2

+

(y-r)2

b2

=1
焦點坐標為F1（- 

a2-b2

，r），F(xiàn)2（

a2-b2

，r）
離心率e=

a2-b2

a

（2）將直線CD的方程y=k₁x代入橢圓方程，
得b²x²+a²（k₁x-r）²=a²b²，
整理得（b²+a²k₁²）x₂-2k¹a²rx+（a²r²-a²b²）=0．
根據(jù)韋達定理，得 x₁+x₂=

2k1a2r

b2+a2 k 1 2

x₁x₂=

a2r2-a2b2

b2+a2 k 2 1

所以

x1x2

x1+x2

=

r2-b2

2k1r

①
將直線GH的方程y=k₂x代入橢圓方程，同理可得

x3x4

x3+x4

=

r2-b2

2k1r

②
由①，②得

k1x1x2

x1+x2

=

r2-b2

2 r

=

k2x3x4

x3+x4

所以結論成立．

（3）設點P（p，0），點Q（q，0）．
由C，P，H共線，得

x1- p

x4-p

=

k2x1

k2x4

解得p=

(k1-k2)x1x4

k1x1-k2x4

由D，Q，G共線，同理可得q=

(k1-k2)x2x3

k1x2-k2x3

由

k1x1x2

x1+x2

=

k2x3x4

x3+x4

變形得
-

x2x3

k1x2-k2x3

=

x3x4

k1x1-k2x4

即-

(k1-k2)x1x4

k1x1-k2x4

=

(k1-k2)x2x3

k1x2-k2x3

所以|p|=|q|，
即|OP|=|OQ|．

點評：本題主要考查了橢圓的方程和直線與橢圓的關系．考查了學生分析問題和綜合運用知識的能力．是高考題出題的常用模式．