Question

如圖，五面體A-BCC₁B₁中，AB₁=4．底面ABC 是正三角形，AB=2．四邊形BCC₁B₁是矩形，二面角A-BC-C₁為直二面角．
（Ⅰ）若D是AC中點，求證：AB₁∥平面BDC₁；
（Ⅱ）求該五面體的體積．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）連接B₁C交BC₁于O，連接DO，由三角形的中位線性質可得  DO∥AB₁ ，從而證明AB₁∥平面BDC₁ ．
 （Ⅱ）過A作AH⊥BC，垂足為H，求出棱錐的高AH和矩形BCC₁B₁的面積，代入體積公式進行運算．
解答：解：（Ⅰ）證明：連接B₁C交BC₁于O，連接DO，∵四邊形BCC₁B₁是矩形，
∴O為B₁C中點又D為AC中點，從而，DO∥AB₁ ．
∵AB₁?平面BDC₁，DO?平面BDC₁，∴AB₁∥平面BDC₁ ．
（Ⅱ）過A作AH⊥BC，垂足為H，∵△ABC為正三角形，∴H為BC中點，，∵二面角A-BC-C₁為直二面角，∴AH⊥面BCC₁B₁，又，故矩形BCC₁B₁的面積，
故所求五面體體積．
點評：本題考查證明線面平行的方法，求椎體的體積．證明 DO∥AB₁ 是解題的關鍵．