Question

已知函數(shù)f（x）=2^x，f（a+2）=12，函數(shù)g（x）=2^ax-9^x，g（x）的定義域為[0，1]．
（Ⅰ）求函數(shù)g（x）的解析式；
（Ⅱ）求函數(shù)g（x）的值域．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由f（a+2）=2^a+2=12可求a，然后代入到g（x）=2^ax-9^x，化簡即可
（Ⅱ）令t=3^x，由x∈[0，1]，可求t∈[1，3]，然后結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可求

解答：解：（Ⅰ）由題意可得，f（a+2）=2^a+2=12
∴a=log₂3
∵g（x）=2^ax-9^x，
∴g（x）=3^x-9^x； 
（Ⅱ）令t=3^x，x∈[0，1]，則t∈[1，3]
∴g（t）=t-t²=-(t-

1

2

)2+

1

4

結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可知，g（t）=t-t²=-(t-

1

2

)2+

1

4

在[1，3]上單調(diào)遞減
當(dāng)t=1時，g（1）=0，當(dāng)t=3時，g（3）=-6
∴函數(shù)的值域為[-6，0]．

點評：本題主要考查了對數(shù)的基本運算的應(yīng)用，指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)、二次函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用 在求解函數(shù)值 域中的應(yīng)用．