Question

在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，側(cè)面ABB₁A₁為矩形，AB=1，AA₁=，D為AA₁的中點(diǎn)，BD與AB₁交于點(diǎn)O，CO丄側(cè)面ABB₁A₁．
（Ⅰ）證明：BC⊥AB₁；
（Ⅱ）若OC=OA，求三棱錐B₁-ABC的體積．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）要證明BC⊥AB₁，可證明AB₁垂直于BC所在的平面BCD，已知CO垂直于側(cè)面ABB₁A₁，所以CO垂直于AB₁，只要在矩形ABB₁A₁內(nèi)證明BD垂直于AB₁即可，可利用角的關(guān)系加以證明；
（Ⅱ）求三棱錐B₁-ABC的體積，可轉(zhuǎn)化為求三棱錐C-ABB₁ 的體積，在Rt△ABD中，可求得BD的值和OA的值，從而三棱錐的體積可求．
解答：（Ⅰ）證明：如圖，
因?yàn)锳BB₁A₁是矩形，
D為AA₁中點(diǎn)，AB=1，，AD=，
所以在直角三角形ABB₁中，，
在直角三角形ABD中，，
所以∠AB₁B=∠ABD，
又，，
所以在直角三角形ABO中，故∠BOA=90°，
即BD⊥AB₁，
又因?yàn)镃O⊥側(cè)面ABB₁A₁，AB₁?側(cè)面ABB₁A₁，
所以CO⊥AB₁
所以，AB₁⊥面BCD，BC?面BCD，
故BC⊥AB₁．
（Ⅱ）解：在Rt△ABD中，可求得，．
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點(diǎn)評(píng)：本題考查了直線與平面垂直的性質(zhì)，考查了利用等積法求棱錐的體積，考查空間想象能力、運(yùn)算能力和推理論證能力，屬于中檔題．