設(shè)點(diǎn)A,B的坐標(biāo)分別為(-a,0),(a,0).直線AM,BM相交于點(diǎn)M,且他們的斜率之積為k.則下列說(shuō)法正確的是
(2)(3)
(2)(3)

(1)當(dāng)k=
b2
a2
時(shí),點(diǎn)M的軌跡是雙曲線.(其中a,b∈R+
(2)當(dāng)k=-
b2
a2
時(shí),點(diǎn)M的軌跡是部分橢圓.(其中a,b∈R+
(3)在(1)條件下,點(diǎn)p(x0,y0)(x0<0)是曲線上的點(diǎn)F1(-
a2+b2
,0)
,F(xiàn)2
a2+b2
,0),且|PF1|=
1
4
|PF2|,則(1)的軌跡所在的圓錐曲線的離心率取值范圍(1,
5
3
]
(4)在(2)的條件下,過(guò)點(diǎn)F1(-
a2-b2
,0),F(xiàn)2
a2-b2
,0).滿足
.
MF1
.
MF2
=0的點(diǎn)M總在曲線的內(nèi)部,則(2)的軌跡所在的圓錐曲線的離心率的取值范圍是(
2
2
,1)
分析:設(shè)出動(dòng)點(diǎn)M的坐標(biāo),寫(xiě)出直線AM,BM的斜率,由斜率之積等于k求出軌跡方程,若k=
b2
a2
時(shí),得到M的軌跡是除去兩個(gè)頂點(diǎn)的雙曲線;若k=-
b2
a2
時(shí),得到M的軌跡是橢圓除去長(zhǎng)軸上兩個(gè)頂點(diǎn);是雙曲線時(shí),由題目給出的|PF1|=
1
4
|PF2|,集合雙曲線定義求出|PF1|和|PF2|的長(zhǎng)度,由兩邊之和大于第三邊列式求離心率范圍;是橢圓時(shí),根據(jù)與兩焦點(diǎn)連線互相垂直的點(diǎn)總在橢圓內(nèi)部,取橢圓短軸上的一個(gè)端點(diǎn),由該點(diǎn)到兩個(gè)焦點(diǎn)距離的平方和大于焦距的平方求得橢圓的離心率小于
2
2
,按以上分析可以判斷出正確命題的個(gè)數(shù).
解答:解:設(shè)M(x,y),由A,B的坐標(biāo)分別為(-a,0),(a,0),
kAM=
y
x+a
(x≠-a),kBM=
y
x-a
(x≠a),
由kAM•kBM=k,得:
y
x+a
y
x-a
=k
,即kx2-y2=ka2①.
(1)若k=
b2
a2
(a,b∈R+),則方程①化為
x2
a2
-
y2
b2
=1
,點(diǎn)M的軌跡是雙曲線除去兩個(gè)頂點(diǎn),
∴命題(1)不正確;
(2)若k=-
b2
a2
(a,b∈R+),則方程①化為
x2
a2
+
y2
b2
=1
,點(diǎn)M的軌跡是橢圓除去長(zhǎng)軸上兩個(gè)頂點(diǎn),
∴命題(2)正確;
(3)在(1)條件下,點(diǎn)p(x0,y0)(x0<0)是曲線上的點(diǎn),說(shuō)明點(diǎn)P在雙曲線
x2
a2
-
y2
b2
=1
的左支上,
F1,F(xiàn)2是雙曲線的左右焦點(diǎn),則由|PF1|=
1
4
|PF2|及|PF2|-|PF1|=2a求得|PF1|=
2
3
a,|PF2|=
8
3
a

又|PF1|+|PF2|=
2
3
a+
8
3
a≥2c
,∴
c
a
5
3
,又e>1,∴(1)的軌跡所在的圓錐曲線的離心率取值范圍(1,
5
3
].
∴命題(3)正確;
(4)在(2)的條件下,由滿足
.
MF1
.
MF2
=0的點(diǎn)M總在曲線的內(nèi)部,說(shuō)明滿足MF1⊥MF2的點(diǎn)M在曲線內(nèi)部,若點(diǎn)M在曲線上,則|MF1|2+|MF2|2>4c2,取M為橢圓短軸的一個(gè)端點(diǎn),則|MF1|=|MF2|=a,所以2a2>4c2
c
a
2
2
.∴命題(4)錯(cuò)誤.
所以,正確的命題是②③.
故答案為②③.
點(diǎn)評(píng):本題考查了命題的真假判斷及簡(jiǎn)單應(yīng)用,考查了橢圓和雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì),涉及求圓錐曲線的離心率范圍問(wèn)題,關(guān)鍵是根據(jù)題目給出的條件得到關(guān)于a和c的不等式,此題是中檔題.
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設(shè)點(diǎn)A,B的坐標(biāo)分別為(-5,0),(5,0).直線AM,BM相交于點(diǎn)M,且它們的斜率之積為-2,則點(diǎn)M的軌跡是( 。

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設(shè)點(diǎn)A,B的坐標(biāo)分別為(-a,0),(a,0).直線AM,BM相交于點(diǎn)M,且他們的斜率之積為k.則下列說(shuō)法正確的是   
(1)當(dāng)k=時(shí),點(diǎn)M的軌跡是雙曲線.(其中a,b∈R+
(2)當(dāng)k=-時(shí),點(diǎn)M的軌跡是部分橢圓.(其中a,b∈R+
(3)在(1)條件下,點(diǎn)p(x,y)(x<0)是曲線上的點(diǎn)F1(-,F(xiàn)2,0),且|PF1|=|PF2|,則(1)的軌跡所在的圓錐曲線的離心率取值范圍(1,]
(4)在(2)的條件下,過(guò)點(diǎn)F1(-,0),F(xiàn)2,0).滿足=0的點(diǎn)M總在曲線的內(nèi)部,則(2)的軌跡所在的圓錐曲線的離心率的取值范圍是

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