已知函數(shù)f（x）=-x3+x2，g（x）=alnx，a∈R．
（1）若對任意x∈[1，e]，都有g（x）≥-x2+（a+2）x恒成立，求a的取值范圍；
（2）設F（x）=
f(x)，x＜1
g(x)，x≥1
若P是曲線y=F（x）上異于原點O的任意一點，在曲線y=F（x）上總存在另一點Q，使得△POQ中的∠POQ為鈍角，且PQ的中點在y軸上，求a的取值范圍．
（1）由對任意x∈[1，e]，都有g（x）≥-x2+（a+2）x恒成立，得（x-lnx）a≤x2-2x，．
由于x∈[1，e]，lnx≤1≤x，且等號不能同時取得，所以lnx＜x，x-lnx＞0．
從而a≤
x2-2x
x-lnx
恒成立，a≤（
x2-2x
x-lnx
）min． …（4分）
設t（x）=
x2-2x
x-lnx
，x∈[1，e]，
求導，得t′（x）=
(x-1)(x+2-lnx)
(x-lnx)2
．…（6分）
x∈[1，e]，x-1≥0，lnx≤1，x+2-lnx＞0，
從而t′（x）≥0，t（x）在[1，e]上為增函數(shù)．
所以t（x）min=t（1）=-1，所以a≤-1．…（8分）
（2）F（x）=
-x3+x2，x＜1
alnx，   x≥1
，
設P（t，F(xiàn)（t））為曲線y=F（x）上的任意一點．
假設曲線y=F（x）上存在一點Q（-t，F(xiàn)（-t）），使∠POQ為鈍角，
則
OP
•
OQ
＜0，
若t≤-1，P（t，-t3+t2），Q（-t，aln（-t）），
OP
•
OQ
=-t2+aln（-t）（-t3+t2），
由于
OP
•
OQ
＜0恒成立，a（1-t）ln（-t）＜1．
當t=-1時，a（1-t）ln（-t）＜1．恒成立．
當t＜-1時，a＜
1
(1-t)ln(-t)
恒成立．由于
1
(1-t)ln(-t)
＞0，所以a≤0．（12分）
若-1＜t＜1，t≠0，P（t，-t3+t2），Q（-t，t3+t2），
則
OP
•
OQ
=-t2+（-t3+t2）（t3+t2）＜0，
t4-t2+1＞0對-1＜t＜1，t≠0恒成立．…（14分）
③當t≥1時，同①可得a≤0．
綜上所述，a的取值范圍是（-∞，0]．  …（16分）
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=sinxcosφ+cosxsinφ（其中x∈R，0＜φ＜π）．
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期；
（2）若函數(shù)y=f(2x+
π
4
)的圖象關于直線x=
π
6
對稱，求φ的值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）為定義在R上的奇函數(shù)，且當x＞0時，f（x）=（sinx+cosx）2+2cos2x，
（1）求x＜0，時f（x）的表達式；
（2）若關于x的方程f（x）-a=o有解，求實數(shù)a的范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=aInx-ax，（a∈R）
（1）求f（x）的單調遞增區(qū)間；（文科可參考公式：(Inx)′=
1
x
）
（2）若f′（2）=1，記函數(shù)g（x）=x3+x2•[f′(x)+
m
2
]，若g（x）在區(qū)間（1，3）上總不單調，求實數(shù)m的范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=x2-bx的圖象在點A（1，f（1））處的切線l與直線3x-y+2=0平行，若數(shù)列{
1
f(n)
}的前n項和為Sn，則S2010的值為（　�。�
A、
2011
2012
B、
2010
2011
C、
2009
2010
D、
2008
2009

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）是定義在區(qū)間（-1，1）上的奇函數(shù)，且對于x∈（-1，1）恒有f’（x）＜0成立，若f（-2a2+2）+f（a2+2a+1）＜0，則實數(shù)a的取值范圍是
 
．

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