Question

已知數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列．
（1）若a₁=3，公差d=1，且a₁²+a₂+a₃+…+a_m≤48，求m的最大值；
（2）對(duì)于給定的正整數(shù)m，若a₁²+a_m+1²=1，求S=a_m+1+a_m+2+…+a_2m+1的最大值．

Answer 1

分析：（1）不等式左側(cè)可先加上a₁，再減去a₁，構(gòu)造出一個(gè)等差數(shù)列前m項(xiàng)和的形式，代入公式求解即可；
（2）由等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式可得要求S的最大值，只需求a_m+1+a_2m+1的最大值，設(shè)a_m+1+a_2m+1=A，根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)推出A與a₁、a_m+1的關(guān)系，代入已知條件，消去a_m+1，得到a₁、A的方程，利用方程有解，即可求出A的范圍，故本題可解．

解答：解：（1）由a₁²+a₂+a₃+…+a_m≤48，
可得：a₁²-a₁+a₁+a₂+a₃+…+a_m≤48，
又a₁=3，d=1，可得：6+3m+

m(m-1)

2

≤48．（4分）
整理得：m²+5m-84≤0，
解得-12≤m≤7，即m的最大值為7．（6分）
（2）解：S=am+1+am+2+…+a2m+1=

(m+1)(am+1+a2m+1)

2

（8分）
設(shè)a_m+1+a_2m+1=A，
則A=a_m+1+a_2m+1+a₁-a₁=a_m+1+2a_m+1-a₁=3a_m+1-a₁．
則am+1=

A+a1

3

，由

a

2 1

+(

A+a1

3

)2=1，可得：10a₁²+2Aa₁+A²-9=0，（10分）
由△=4A²-40（A²-9）≥0，可得：-

10

≤A≤

10

．（12分）
所以S=

(m+1)(am+1+a2m+1)

2

=

(m+1)A

2

≤

10 (m+1)

2

．（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式及解不等式的有關(guān)知識(shí)，考查運(yùn)算能力和推理能力．