Question

3．求下列函數的定義域、值域、單調區(qū)間3
（1）f（x）=$\frac{1}{{2}^{x-4}}$；
（2）f（x）=（$\frac{1}{2}$）${\;}^{\sqrt{-{x}^{2}-3x+4}}$．

Answer 1

分析 （1）定義域顯然為R，由2^x-4＞0，便可得出$\frac{1}{{2}^{x-4}}$的范圍，即得出該函數值域，根據單調性的定義容易判斷該函數的單調遞減區(qū)間為（-∞，+∞）；
（2）解-x²-3x+4≥0便可得出f（x）的定義域為[-4，1]，由$-{x}^{2}-3x+4=-（x+\frac{3}{2}）^{2}+\frac{25}{4}$便可得出$0≤\sqrt{-{x}^{2}-3x+4}≤\frac{5}{2}$，從而根據指數函數的單調性便可得出f（x）的值域，可設-x²-3x+4=t，從而看出原函數是由$y=（\frac{1}{2}）^{\sqrt{t}}$和t=-x²-3x+4復合而成的復合函數，函數y=$（\frac{1}{2}）^{\sqrt{t}}$為減函數，從而求函數t=-x²-3x+4在[-4，1]上的單調增、減區(qū)間，便可得出f（x）的減、增區(qū)間．

解答 解：（1）定義域為R；
2^x-4＞0；
∴$\frac{1}{{2}^{x-4}}＞0$；
∴f（x）的值域為（0，+∞）；
x增大時，2^x-4增大，∴$\frac{1}{{2}^{x-4}}$減小；
∴f（x）在（-∞，+∞）上單調遞減；
即f（x）的單調遞減區(qū)間為（-∞，+∞）；
（2）∴要使f（x）有意義，則：-x²-3x+4≥0；
解得-4≤x≤1；
∴該函數的定義域為[-4，1]；
$-{x}^{2}-3x+4=-（x+\frac{3}{2}）^{2}+\frac{25}{4}$；
∴$0≤-{x}^{2}-3x+4≤\frac{25}{4}$；
∴$0≤\sqrt{-{x}^{2}-3x+4}≤\frac{5}{2}$；
∴$（\frac{1}{2}）^{\frac{5}{2}}≤（\frac{1}{2}）^{\sqrt{-{x}^{2}-3x+4}}≤（\frac{1}{2}）^{0}$；
∴$\frac{\sqrt{2}}{8}≤f（x）≤1$；
∴該函數的值域為[$\frac{\sqrt{2}}{8}，1$]；
令-x²-3x+4=t，則$（\frac{1}{2}）^{\sqrt{t}}$為減函數；
∴t=-x²-3x+4在[-4，1]上的減區(qū)間為原函數的增區(qū)間，增區(qū)間為原函數的減區(qū)間；
∴原函數的增區(qū)間為$[-\frac{3}{2}，1]$，減區(qū)間為$[-4，-\frac{3}{2}]$．

點評 考查函數定義域、值域的概念及其求法，根據不等式的性質求函數值域，指數函數的值域，以及指數函數的單調性，配方法求二次函數的值域，二次函數單調區(qū)間及復合函數單調區(qū)間的求法．