Question

（2012•威海二模）如圖所示多面體中，AD⊥平面PDC，ABCD為平行四邊形，E為AD的中點(diǎn)，F(xiàn)為線段BP上一點(diǎn)，∠CDP=120°，AD=3，AP=5，PC=2

7

．
（Ⅰ）若F為BP的中點(diǎn)，求證：EF∥平面PDC；
（Ⅱ）若BF=

1

3

BP，求直線AF與平面PBC所成角的正弦值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先證明四邊形EFOD是平行四邊形，再利用線面平行的判定定理證明EF∥平面PDC；
（Ⅱ）z軸建立空間直角坐標(biāo)系，求得

AF

=(

2

3

，

2

3

3

，-1)，面PBC的法向量

n1

=(

3

2

，1，0)，利用向量的夾角公式，可求AF與平面PBC所成角的正弦值．

解答：（Ⅰ）證明：取PC的中點(diǎn)為O，連FO，DO，
∵F，O分別為BP，PC的中點(diǎn)，
∴FO∥BC，且FO=

1

2

BC，
又ABCD為平行四邊形，∴ED∥BC，且ED=

1

2

BC，
∴FO∥ED，且FO=ED
∴四邊形EFOD是平行四邊形------------------------------------（2分）
∴EF∥DO   
∵EF?平面PDC
∴EF∥平面PDC．---------------------------------------------（4分）
（Ⅱ）解：以DC為x軸，過D點(diǎn)做DC的垂線為y軸，DA為z軸建立空間直角坐標(biāo)系，
則有D（0，0，0），C（2，0，0），B（2，0，3），P（-2，2

3

，0），A（0，0，3）-----（6分）
設(shè)F（x，y，z），則

BF

=(x-2，y，z-3)=

1

3

BP

=（-

4

3

，

2 3

3

，-1）
∴F（

2

3

，

2

3

3

，2），∴

AF

=(

2

3

，

2

3

3

，-1)-----------------------------（8分）
設(shè)平面PBC的法向量為

n1

=(x，y，z)
則

n1 • CB =0 n1 • PC =0

，即

3z=0 4x-2 3 y=0

，∴取y=1得

n1

=(

3

2

，1，0)--------------（10分）
∴cos＜

AF

，

n1

＞=

AF • n1

| AF || n1 |

=

2 3 × 3 2 + 2 3 3

5 3 × 7 2

=

6 21

35

∴AF與平面PBC所成角的正弦值為

6 21

35

．-------------------------（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查線面平行，考查線面角，考查利用向量知識(shí)解決線面角問題，求得平面的法向量是關(guān)鍵．