Question

在平面直角坐標系xOy中，曲線C₁的參數(shù)方程為

x=cosφ y=sinφ

（φ為參數(shù)），曲線C₂的參數(shù)方程為

x=acosφ y=bsinφ

（a＞b＞0，φ為參數(shù)）在以O為極點，x軸的正半軸為極軸的極坐標系中，射線l：θ=α與C₁，C₂各有一個交點．當α=0時，這兩個交點間的距離為2，當α=

π

2

時，這兩個交點重合．
（I）分別說明C₁，C₂是什么曲線，并求出a與b的值；
（II）設當α=

π

4

時，l與C₁，C₂的交點分別為A₁，B₁，當α=-

π

4

時，l與C₁，C₂的交點為A₂，B₂，求四邊形A₁A₂B₂B₁的面積．

Answer 1

分析：（I）有曲線C₁的參數(shù)方程為

x=cosφ y=sinφ

（φ為參數(shù)），曲線C₂的參數(shù)方程為

x=acosφ y=bsinφ

（a＞b＞0，φ為參數(shù)），消去參數(shù)的C₁是圓，C₂是橢圓，并利用．當α=0時，這兩個交點間的距離為2，當α=

π

2

時，這兩個交點重合，求出a及b．
（II）利用C₁，C₂的普通方程，當α=

π

4

時，l與C₁，C₂的交點分別為A₁，B₁，當α=-

π

4

時，l與C₁，C₂的交點為A₂，B₂，利用面積公式求出面積．

解答：解：（Ⅰ）C₁是圓，C₂是橢圓．
當α=0時，射線l與C₁，C₂交點的直角坐標分別為（1，0），（a，0），
因為這兩點間的距離為2，所以a=3
當α=

π

2

時，射線l與C₁，C₂交點的直角坐標分別為（0，1）（0，b），
因為這兩點重合
所以b=1．
（Ⅱ）C₁，C₂的普通方程為x²+y²=1和

x2

9

+y2=1．
當α=

π

4

時，射線l與C₁交點A₁的橫坐標為x=

2

2

，
與C₂交點B₁的橫坐標為x′=

3 10

10

．
當α=-

π

4

時，射線l與C₁，C₂的兩個交點A₂，
B₂分別與A₁，B₁關于x軸對稱，因此四邊形A₁A₂B₂B₁為梯形．
故四邊形A₁A₂B₂B₁的面積為

(2x′+2x)(x′-x)

2

=

2

5

．

點評：此題重點考查了消參數(shù)，化出曲線的一般方程，及方程的求解思想，還考查了利用條件的其交點的坐標，利用坐標準確表示出線段長度進而求其面積．