Question

把一副三角板ABC與ABD擺成如圖所示的直二面角D-AB-C，則異面直線DC與AB所成角的正切值為（ ）

A．
B．
C．
D．不存在

Answer 1

【答案】分析：Rt△ABD中，AD：AB：BD=1：：2，Rt△ABC中，AC：AB：BC=1：：1，因此設(shè)AD=，則AB=，AB=AC=．再建立如圖坐標(biāo)系，得出A、B、C、D各點(diǎn)的坐標(biāo)，利用向量數(shù)量積公式，求出直線DC與AB所成角的余弦值，最后用同角三角函數(shù)的關(guān)系，可以算出DC與AB所成角的正切值．
解答：解：以A為原點(diǎn)，AB、AD所在直線分別為y軸和z軸，建立如圖坐標(biāo)系
Rt△ABD中，AD：AB：BD=1：：2．Rt△ABC中，AC：AB：BC=1：：1，
設(shè)AD=，則AB=，AB=AC=
則A（0，0，0），B（0，-，0），C（，-，0），D（0，0，）
∴=（0，-，0），=（，-，-）
可得=，=，
∴cos＜，＞==
根據(jù)同角三角函數(shù)關(guān)系，得sin＜，＞==，tan＜，＞==
即異面直線DC與AB所成角的正切值為
故選B
點(diǎn)評(píng)：本題將一副三角板擺成直二面角，要我們要相對(duì)的棱所在的異面直線所成的角，著重考查了異面直線所成角的求法和空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算，屬于中檔題．