Question

若函數(shù)f（x）=log_a（2x²+x）（a＞0，a≠1）在區(qū)間( 

1

2

， 1)內(nèi)恒有f（x）＜0，則y=f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為

(-∞，-

1

2

)

．

Answer 1

分析：由題意，可先研究t=2x²+x在區(qū)間( 

1

2

， 1)內(nèi)的取值范圍，結(jié)合函數(shù)f（x）=log_a（2x²+x）（a＞0，a≠1）在區(qū)間( 

1

2

， 1)內(nèi)恒有f（x）＜0推斷出a的取值范圍，確定出外層函數(shù)的單調(diào)性，再令2x²+x＞0解出函數(shù)的定義域，由于內(nèi)層函數(shù)是一個二次函數(shù)，找出內(nèi)層函數(shù)在單調(diào)區(qū)間，由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性即可確定出y=f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間

解答：解：令t=2x²+x=2（x+

1

4

）²+

1

8

∵x∈(

1

2

， 1)，故有t∈（

5

4

，

13

4

）
又函數(shù)f（x）=log_a（2x²+x）（a＞0，a≠1）在區(qū)間( 

1

2

， 1)內(nèi)恒有f（x）＜0
∴a∈（0，1），故函數(shù)f（x）=log_a（2x²+x）的外層函數(shù)是一個減函數(shù)
令2x²+x＞0，解得x＞0或x＜-

1

2

，即函數(shù)的定義域是(-∞，-

1

2

)∪（0，+∞）
由于t=2x²+x在(-∞，-

1

2

)上是一個減函數(shù)，在（0，+∞）上是一個增函數(shù)，由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性知，y=f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為(-∞，-

1

2

)
故答案為(-∞，-

1

2

)

點評：本題考查對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，二次函數(shù)的單調(diào)性及兩者復(fù)合的復(fù)合函數(shù)單調(diào)性，解題的關(guān)鍵是理解題意，由函數(shù)f（x）=log_a（2x²+x）（a＞0，a≠1）在區(qū)間( 

1

2

， 1)內(nèi)恒有f（x）＜0，推斷出外層函數(shù)是一個減函數(shù)，熟練掌握復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判斷方法也很關(guān)鍵，本題考查了推理判斷能力