已知函數(shù)f(x)=
13
x3-2x+m(m∈R)．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）設a，b∈[-2，2]，求證：|f（a）-f（b）|＜5．
分析：（1）求導函數(shù)，利用導數(shù)的正負，可得函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）求出函數(shù)在[-2，2]上的最值，利用|f（a）-f（b）|≤|[f（x）]max-[f（b）]min|，即可證得結(jié)論．
解答：（1）解：求導函數(shù)，可得f′（x）=x2-2．
令f′（x）＜0，可得-
2
＜x＜
2
；令f′（x）＞0，可得x＜-
2
或x＞
2
，
∴f（x）單調(diào)遞減區(qū)間為(-
2
，
2
)；f（x）單調(diào)遞增為（-∞，-
2
），（
2
，+∞）．
∴f（x）單調(diào)的單調(diào)遞減區(qū)間為(-
2
，
2
)；單調(diào)的單調(diào)遞增區(qū)間為(-∞，-
2
)，(
2
，+∞)．
（2）證明：由（1）知函數(shù)f（x）在[-2，2]上的極大值為f(-
2
)=m+
4
3
2
，極小值為f(
2
)=m-
4
3
2
；
又f(-2)=m+
4
3
，f(2)=m-
4
3
，
∴f（x）在[-2，2]上的最大值f(-
2
)=m+
4
3
2
，最小值為f(
2
)=m-
4
3
2
．
∴|f（a）-f（b）|≤|[f（x）]max-[f（b）]min|=|(m+
4
3
2
)-(m-
4
3
2
)|=
8
3
2
＜5．
點評：本題考查導數(shù)知識的運用，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查函數(shù)的最值，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（1）、已知函數(shù)f(x)=
1+
2
cos(2x-
π
4
)
sin(x+
π
2
)
．若角α在第一象限且cosα=
3
5
，求f(α)．
（2）函數(shù)f(x)=2cos2x-2
3
sinxcosx的圖象按向量
m
=(
π
6
，-1)平移后，得到一個函數(shù)g（x）的圖象，求g（x）的解析式．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=(1-
a
x
)ex，若同時滿足條件：
①?x0∈（0，+∞），x0為f（x）的一個極大值點；
②?x∈（8，+∞），f（x）＞0．
則實數(shù)a的取值范圍是（　�。�

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=
1+lnx
x
．
（1）如果a＞0，函數(shù)在區(qū)間(a，a+
1
2
)上存在極值，求實數(shù)a的取值范圍；
（2）當x≥1時，不等式f(x)≥
k
x+1
恒成立，求實數(shù)k的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=
1+
1
x
，(x＞1)
x2+1，(-1≤x≤1)
2x+3，(x＜-1)
．
（1）求f(
1
2
-1
)與f（f（1））的值；
（2）若f(a)=
3
2
，求a的值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

定義在D上的函數(shù)f（x）如果滿足：對任意x∈D，存在常數(shù)M＞0，都有|f（x）|≤M成立，則稱f（x）是D上的有界函數(shù)，其中M稱為函數(shù)f（x）的上界．已知函數(shù)f(x)=
1-m•2x1+m•2x
．
（1）m=1時，求函數(shù)f（x）在（-∞，0）上的值域，并判斷f（x）在（-∞，0）上是否為有界函數(shù)，請說明理由；
（2）若函數(shù)f（x）在[0，1]上是以3為上界的有界函數(shù)，求m的取值范圍．

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