在斜三棱柱ABC－中，⊥，AB⊥AC，AB＝3，AC＝2，側(cè)棱與底面ABC成角，頂點(diǎn)在平面ABC上的射影是H點(diǎn)．

(1)求證：點(diǎn)H在直線AB上；

(2)當(dāng)側(cè)棱＝，且點(diǎn)H在線段BA延長(zhǎng)線上時(shí)，求側(cè)面與底面ABC所成二面角的正切值；

(3)當(dāng)點(diǎn)H滿足怎樣的條件時(shí)，此三棱柱的體積V取得最小值，并求出此最小值．

答案：
解析：

(1)由AC⊥平面

平面⊥平面ABC

∵AB是兩垂直平面的交線，所以由向平面ABC作垂線的垂足必在直線AB上．

(2)作HO⊥BC，O為垂足，連結(jié)，則為所求二面角，

∴

∴AH＝＝2，BH＝5

由Rt△ABC～Rt△BHO．

∴，∴OH＝

在Rt△CHO中，

側(cè)面與底面ABC所成角的正切值為．

(3)三棱柱底面積為定值，＝3，

體積當(dāng)且僅當(dāng)最小時(shí)，即H在A點(diǎn)處獲最小值．

此時(shí)＝2·

＝3×為最小值．


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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，在斜三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=BC，AC⊥BC．側(cè)面A1ABB1是邊長(zhǎng)為a的菱形，且垂直于底面ABC，∠A1AB=60°，E，F(xiàn)分別是AB1，BC的中點(diǎn)．  
（1）求證：直線EF∥平面A1ACC1；   
（2）在線段AB上確定一點(diǎn)G，使平面EFG⊥平面ABC，并給出證明；  
（3）記三棱錐A-BCE的體積為V，且V∈[
32
，12]，求a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

精英家教網(wǎng)在斜三棱柱ABC-A1B1C1中，BB1=BA=BC=1，∠B1BC=60°，∠ABC=90°，平面BB1C1C⊥平面ABC，M、N分別是BC的三等分點(diǎn)．
（1）求證：A1N∥平面AB1M；
（2）求證：AB⊥B1M；
（3）求三棱錐A-B1BC的體積V．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2012•濟(jì)南三模）在斜三棱柱ABC-A1B1C1中，側(cè)面ACC1A1⊥面ABC，AA1=
2
a，A1C=CA=AB=a，AB⊥AC，D為AA1中點(diǎn)．
（1）求證：CD⊥面ABB1A1；
（2）在側(cè)棱BB1上確定一點(diǎn)E，使得二面角E-A1C1-A的大小為
π
3
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖，在斜三棱柱ABC-A1B1C1中，側(cè)面AA1B1B⊥底面ABC，側(cè)棱AA1與底面ABC成60°角，AA1=2，底面ABC是邊長(zhǎng)為2的三角形，G為三角形ABC內(nèi)一點(diǎn)，E是線段BC1上一點(diǎn)，且
BE
=
1
3
BC1
，
GE
=
1
3
AB1
．
（1）請(qǐng)判斷點(diǎn)G在三角形ABC內(nèi)的位置；
（2）求平面B1GE與底面ABC所成銳角二面角的大�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2004•武漢模擬）在斜三棱柱ABC-A1B1C1中，A0，B0，分別為側(cè)棱AA1，BB1上的點(diǎn)，且知BB0：B0B1=3：2，過(guò)A0，B0，C1的截面將三棱柱分成上下兩個(gè)部分體積之比為2：1，則AA0：A0A1=（　　）

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