Question

已知0≤a₁≤1，定義a_n+1=

2an，0≤an＜ 1 2 2an-1，an≥ 1 2

．
（Ⅰ）如果a₂=a₃，則a₂=

 

；
（Ⅱ）如果a₁＜a₃，則a₁的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列遞推式,數(shù)列的函數(shù)特性

專(zhuān)題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）若0≤a2＜

1

2

，則a₃=2a₂=a₂；若a2≥

1

2

，則a₃=2a₂-1=a₂，由此能求出a₂=0，或a₂=1．
（Ⅱ）當(dāng)0≤a1＜

1

2

時(shí)，a₂=2a₁．若0≤a2＜

1

2

，則a₃=2a₂=4a₁，若a2≥

1

2

，則a₃=2a₂-1=4a₁-1；②當(dāng)a1≥

1

2

 時(shí)，a₂=2a₁-1．若0≤a2＜

1

2

，則a₃=2a₂=4a₁-2，若a2≥

1

2

，則a₃=2a₂-1=4a₁-3．由此進(jìn)行分類(lèi)討論，能求出a₁＜a₃時(shí)，a₁的取值范圍．

解答： 解：（Ⅰ）∵0≤a₁≤1，定義a_n+1=

2an，0≤an＜ 1 2 2an-1，an≥ 1 2

，a₂=a₃，
∴若0≤a2＜

1

2

，則a₃=2a₂=a₂，解得a₂=0．
若a2≥

1

2

，則a₃=2a₂-1=a₂，解得a₂=1．
∴a₂=0，或a₂=1．
故答案為：0或1．
（Ⅱ）①當(dāng)0≤a1＜

1

2

時(shí)，a₂=2a₁．
若0≤a2＜

1

2

，則a₃=2a₂=4a₁，
∵a₁＜a₃，∴a₁＜4a₁，且0≤2a1＜

1

2

，
∴0＜a1＜

1

4

；
若a2≥

1

2

，則a₃=2a₂-1=4a₁-1，
∵a₁＜a₃，∴

0≤a1＜ 1 2 2a1≥ 1 2 a1＜4a1-1

，解得

1

3

＜a1＜

1

2

．
②當(dāng)a1≥

1

2

 時(shí)，a₂=2a₁-1．
若0≤a2＜

1

2

，則a₃=2a₂=4a₁-2，
∵a₁＜a₃，∴

a1≥ 1 2 0≤2a1-1＜ 1 2 a1＜4a1-2

，解得

2

3

＜a1＜

3

4

．
若a2≥

1

2

，則a₃=2a₂-1=4a₁-3，
∵a₁＜a₃，∴

a1≥ 1 2 2a1-1≥ 1 2 4a1-3＞a1

，解得a₁＞1，∵0≤a₁≤1，∴a₁＞1不成立．
綜上，如果a₁＜a₃，則a₁的取值范圍是（0，

1

4

）∪（

1

3

，

1

2

）∪（

2

3

，

3

4

）．
故答案為：（0，

1

4

）∪（

1

3

，

1

2

）∪（

2

3

，

3

4

）．

點(diǎn)評(píng)：本題以數(shù)列為載體，考查實(shí)數(shù)的取值范圍的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意分類(lèi)討論思想的合理運(yùn)用．