Question

已知直線(xiàn)l交拋物線(xiàn)C：y²=2px（p＞0）于A，B兩點(diǎn)，且∠AOB=90°，其中，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，2）．
（I）求拋物線(xiàn)C的方程；
（II）求點(diǎn)B的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】分析：（I）因?yàn)辄c(diǎn)A（1，2）在拋物線(xiàn)y²=2px上，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入方程即可求出p值，從而得到拋物線(xiàn)C的方程；
（II）設(shè)點(diǎn)B的坐標(biāo)為（x，y），利用垂直關(guān)系得出B點(diǎn)坐標(biāo)的一個(gè)關(guān)系式，再與拋物線(xiàn)的方程聯(lián)立方程，解出B的坐標(biāo)即得．
解答：解：（I）因?yàn)辄c(diǎn)A（1，2）在拋物線(xiàn)y²=2px上，
所以2²=2p，-------------（2分）
解得p=2，-------------（3分）
故拋物線(xiàn)C的方程為y²=4x．-------------（4分）
（II）設(shè)點(diǎn)B的坐標(biāo)為（x，y），由題意可知x_0≠0，
直線(xiàn)OA的斜率k_OA=2，直線(xiàn)OB的斜率k_OB=，
因?yàn)椤螦OB=90°，所以k_OA•k_OB==-1，-------------（6分）
又因?yàn)辄c(diǎn)B（x，y）在拋物線(xiàn)y²=4x上，
所以y²=4x，-------------（7分）
聯(lián)立 解得或 （舍），-------------（9分）
所以點(diǎn)B的坐標(biāo)為（16，-8）．-------------（10分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程，以及簡(jiǎn)單性質(zhì)，兩直線(xiàn)垂直的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．