Question

已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，a₃+a₇=18，且a_n-1+a_n+1=2a_n（n≥2）．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）若c_n=2^n-1•a_n，求數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由a_n-1+a_n+1=2a_n（n≥2）知，數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，設(shè)其公差為d，則a5=

1

2

(a3+a7)=9，由此能求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．
（Ⅱ）c_n=（2n-1）•2^n-1，T_n=c₁+c₂+…+c_n=1×2⁰+3×2+5×2²+…+（2n-1）×2^n-1，由錯(cuò)位相減法得-T_n=1+2（2¹+2²+2³++2^n-1）-（2n-1）•2ⁿ，由此能求出數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和T_n．

解答：解：（Ⅰ）由a_n-1+a_n+1=2a_n（n≥2）知，數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，
設(shè)其公差為d，（2分）
則a5=

1

2

(a3+a7)=9，
所以d=

a5-a1

4

=2，（4分）a_n=a₁+（n-1）d=2n-1，
即數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式為a_n=2n-1．（6分）
（Ⅱ）c_n=（2n-1）•2^n-1，
T_n=c₁+c₂+…+c_n=1×2⁰+3×2+5×2²+…+（2n-1）×2^n-1，
2T_n=1×2¹+3×2²++（2n-3）×2^n-1+（2n-1）×2ⁿ，
相減得-T_n=1+2（2¹+2²+2³++2^n-1）-（2n-1）•2ⁿ，（9分）
整理得-Tn=1+2×

2-2n

1-2

-(2n-1)•2n=-(2n-3)•2n-3，
所以T_n=（2n-3）•2ⁿ+3．（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的性質(zhì)和應(yīng)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意遞推公式的合理運(yùn)用．