Question

在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面△ABC為等腰直角三角形，∠ABC=90°，D為
棱BB₁中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：面DA₁C⊥面AA₁C₁ C；
（Ⅱ）設(shè)AB=BC=AA₁=2，求B₁到平面A₁DC的距離．

Answer 1

考點(diǎn)：點(diǎn)、線、面間的距離計(jì)算,平面與平面垂直的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（Ⅰ）由已知條件推導(dǎo)出EF

∥

.

DB，DE∥BF，從而得到DE⊥平面A₁C₁AC，由此能夠證明面DA₁C⊥面AA₁C₁C．
（Ⅱ）設(shè)B₁到平面A₁DC的距離為h．由VB1-A1DC=VC-A1B1D，利用等積法能求出B₁到平面A₁DC的距離．

解答： （Ⅰ）證明：設(shè)E是A₁C的中點(diǎn)，F(xiàn)是AC的中點(diǎn)，
連結(jié)DE，BF，EF，
則EF

∥

.

1

2

AA₁，
∵在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面△ABC為等腰直角三角形，
∠ABC=90°，D為棱BB₁中點(diǎn)，
∴DB

∥

.

1

2

AA1，∴EF

∥

.

DB，∴DE∥BF，
∵BF⊥平面A₁C₁AC，∴DE⊥平面A₁C₁AC，
∵DE?平面DA₁C，∴面DA₁C⊥面AA₁C₁C．
（Ⅱ）解：設(shè)B₁到平面A₁DC的距離為h．
∵VB1-A1DC=VC-A1B1D，AB=BC=AA₁=2，
∴VC-A1B1D=

1

3

S△A1B1D•BC=

2

3

，
VB1-A1DC=

1

3

S△A1DC•h=

2

3

，
S△A1DC=

1

2

A1C•DE=

6

，
∴

1

3

S△A1DC•h=

2

3

，解得h=

6

3

，
∴B₁到平面A₁DC的距離為

6

3

．

點(diǎn)評：本題考查平面垂直于平面的證明，考查點(diǎn)到平面的距離的求法，解題時要認(rèn)真審題，注意等積法的合理運(yùn)用．