Question

設(shè)函數(shù)f（x）=

x2-2(a-1)x+b2

的定義域?yàn)镈．
（1）a∈{1，2，3，4}，b∈{1，2，3}，求使D=R的概率；
（2）a∈[0，4]，b∈[0，3]，求使D=R的概率．

Answer 1

分析：（1）D=R，等價(jià)于x²-2（a-1）x+b²≥0 恒成立，即△=4（a-1）²-4b²≤0，等價(jià)于a-1≤b．所有的數(shù)對(duì)（a，b）共有4×3=12個(gè)，而滿足條件a-1≤b
的數(shù)對(duì)用列舉法求得共計(jì)8個(gè)，由此求得D=R的概率．
（2）由（1）可得a-1≤b就行，以a為橫坐標(biāo)，b為縱坐標(biāo)畫圖，畫出a屬于[0，4]，b屬于[0，3]的矩形區(qū)域OABC，畫出b≥a-1的區(qū)域，它們相交的部分為
ODBC面積，等于S_OABC-S_△ABD，由此求得D=R的概率．

解答：解：（1）D=R，等價(jià)于x²-2（a-1）x+b²≥0 恒成立，即△=4（a-1）²-4b²≤0．
因?yàn)閍、b都是大于零的，所以只要a-1≤b就行．
所有的數(shù)對(duì)（a，b）共有4×3=12個(gè)，而滿足條件a-1≤b的數(shù)對(duì)有（1，1）、（1，2）、
（1，3）、（2，1）、（2，2）、（2，3）、（3，2）、（3，3），共計(jì)8個(gè)，故D=R的概率為

8

12

=

2

3

．
（2）由（1）可得a-1≤b就行，
以a為橫坐標(biāo)，b為縱坐標(biāo)畫圖，畫出a屬于[0，4]，b屬于[0，3]的矩形區(qū)域OABC，
畫出b≥a-1的區(qū)域，它們相交的部分ODBC面積是S_OABC-S_△ABD=12-

1

2

×3×3=

15

2

，
所以D=R的概率是

15 2

12

=

5

8

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查古典概型及其概率計(jì)算公式的應(yīng)用，簡單的線性規(guī)劃問題，屬于基礎(chǔ)題．