Question

設(shè)分別為橢圓的左、右頂點(diǎn)，橢圓長半軸的長等于焦距，且為它的右準(zhǔn)線．

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）設(shè)為右準(zhǔn)線上不同于點(diǎn)（4，0）的任意一點(diǎn)，若直線分別與橢圓相交于異于的點(diǎn)，證明點(diǎn)在以為直徑的圓內(nèi)．

（此題不要求在答題卡上畫圖）

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Answer 1

【答案】

【解析】（I）依題意得解得  從而b=,………………………………………3分

故橢圓方程為．……………………………………………………………………4分

（II）解法1：由（I）得A（-2，0），B（2，0），設(shè)．

點(diǎn)在橢圓上，．………………………………………………………      5分

又點(diǎn)異于頂點(diǎn)

由三點(diǎn)共線可得，…………………………………………………………………6分

從而．……………………………………………………………7分

，………………………………………………10分

將①式代入②式化簡得．…………………………………………………………12分

>0,>0.于是為銳角,從而為鈍角,

故點(diǎn)在以為直徑的圓內(nèi).………………………………………………………………………. 14分

解法2：由（Ⅰ）得A（－2，0），B（2，0）.設(shè)P（4，）（0），M（，），N（，），則直線AP的方程為，直線BP的方程為．…………………………….. 6分

點(diǎn)M、N分別在直線AP、BP上，

＝（＋2），＝（－2）.從而＝（＋2）（－2）.③

聯(lián)立消去y得（27＋）＋4x＋4（－27）＝0………………8分

，－2是方程得兩根，（－2）．，即＝.  ④

又．=（－2, ）．(－2,)＝（－2）（－2）＋.   ⑤………9分

于是由③、④式代入⑤式化簡可得

．＝（－2）…………………………………………………………    12分

N點(diǎn)在橢圓上，且異于頂點(diǎn)A、B，<0.

又，> 0, 從而．<0.

故為鈍角，即點(diǎn)B在以MN為直徑的圓內(nèi)………………………………14分

解法3：由（Ⅰ）得A（－2，0），B（2，0）.設(shè)M（，），N（，），則－2<<2 , －2<<2.又MN的中點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（），………………………………………5分

化簡得－＝（－2）（－2）＋.             ⑥………………8分

直線AP的方程為，直線BP的方程為………………10分

點(diǎn)P在準(zhǔn)線x＝4上，

，即.                       ⑦

又M點(diǎn)在橢圓上，＋＝1，即          ⑧……… 12分

于是將⑦、⑧式化簡可得－＝.

從而B在以MN為直徑的圓內(nèi)…………………………………………………………………       14分