Question

如圖，四棱錐S-ABCD的底面是正方形，SD⊥平面ABCD，SD=2a，點(diǎn)E是SD上的點(diǎn)，且DE=λa（0＜λ≤2）
（Ⅰ）求證：對(duì)任意的λ∈（0，2），都有AC⊥BE
（Ⅱ）設(shè)二面角C-AE-D的大小為θ，直線(xiàn)BE與平面ABCD所成的角為φ，若tanθ•tanφ=1，求λ的值．

Answer 1

【答案】分析：解法一：（幾何法）（Ⅰ）因?yàn)镾D⊥平面ABCD，BD是BE在平面ABCD上的射影，由三垂線(xiàn)定理只要證AC⊥BD即可．
（Ⅱ）先找出θ和φ，因?yàn)橛蒘D⊥平面ABCD知，∠DBE=φ，二面角C-AE-D的平面角可由三垂線(xiàn)定理法作出．
再用λ表示出tanθ和tanφ，代入tanθ•tanφ=1，解方程即可．
解法二：（向量法）因?yàn)镈A．DC．DS兩兩垂直，故可建立空間直角坐標(biāo)系，由向量法求解．
（Ⅰ）寫(xiě)出向量和的坐標(biāo)，只要數(shù)量積為0即可．
（Ⅱ）分別求出平面ACE的法向量、平面ABCD與平面ADE的一個(gè)法向量，由夾角公式求出cosθ和sinφ，再由tanθ•tanφ=1求解即可．
解答：解：（Ⅰ）證法1：如圖1，連接BE、BD，由地面ABCD是正方形可得AC⊥BD．
∵SD⊥平面ABCD，∴BD是BE在平面ABCD上的射影，∴AC⊥BE
（Ⅱ）解法1：如圖1，由SD⊥平面ABCD知，∠DBE=φ，
∵SD⊥平面ABCD，CD?平面ABCD，∴SD⊥CD．
又底面ABCD是正方形，∴CD⊥AD，而SD∩AD=D，CD⊥平面SAD．
連接AE、CE，過(guò)點(diǎn)D在平面SAD內(nèi)作DF⊥AE于F，連接CF，則CF⊥AE，
故∠CDF是二面角C-AE-D的平面角，即∠CFD=θ．
在Rt△BDE中，∵BD=2a，DE=λa∴tanφ=
在Rt△ADE中，∵，DE=λa∴AE=a
從而DF=
在Rt△CDF中，tanθ=．
由tanθ•tanφ=1，得即=2，所以λ²=2．
由0＜λ≤2，解得，即為所求．


（Ⅰ）證法2：以D為原點(diǎn)，以DA．DC．DS的方向分別作為x，y，z軸的正方向建立如
圖2所示的空間直角坐標(biāo)系，則
D（0，0，0），A（，0，0），B（a，a，0），
C（0，a，0），E（0，0，λa），
∴，
∴，即AC⊥BE．
（Ⅱ）解法2：
由（I）得，，．
設(shè)平面ACE的法向量為n=（x，y，z），則由，
得即取，得．
易知平面ABCD與平面ADE的一個(gè)法向量分別為
與．
∴，．
∵0＜θ＜，λ＞0
∴tanθ•tanφ=1?θ+φ=?sinφ=cosθ??λ²=2．
由0＜λ≤2，解得，即為所求．
點(diǎn)評(píng)：本題考查空間線(xiàn)線(xiàn)垂直的證明、空間垂直之間的相互轉(zhuǎn)化、空間角的求解，考查邏輯推理能力和運(yùn)算能力．