3．已知函數(shù)f（x）=$\frac{1}{2}$x2-alnx，f′（x）-2e=$\frac{lnx}{{x}^{2}}$恰有兩個(gè)交點(diǎn)．求a的取值范圍．

分析 先求導(dǎo)得到，分離參數(shù)得到a=x2-2ex-$\frac{lnx}{x}$，構(gòu)造函數(shù)g（x）=x2-2ex-$\frac{lnx}{x}$，再根據(jù)導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最小值，問題得以解決．

解答 解：∵f（x）=$\frac{1}{2}$x2-alnx，x＞0
∴f′（x）=x-$\frac{a}{x}$，
∴x-$\frac{a}{x}$-2e=$\frac{lnx}{{x}^{2}}$，
∴x2-a-2ex=$\frac{lnx}{x}$，
∴a=x2-2ex-$\frac{lnx}{x}$，
設(shè)g（x）=x2-2ex-$\frac{lnx}{x}$，
當(dāng)x→0時(shí)，g（x）→+∞．
當(dāng)x→+∞＞，g（x）→+∞．
∴g′（x）=2x-2e-$\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$．
當(dāng)x＞e時(shí)，g′（x）＞0，g（x）遞增；
當(dāng)0＜x＜e時(shí)，g′（x）＜0，g（x）遞減．
當(dāng)x=e時(shí)g（x）取最小值g（e）=-e2-$\frac{1}{e}$
因此為使恰有兩個(gè)交點(diǎn)，a＞-e2-$\frac{1}{e}$

點(diǎn)評(píng) 本題考查了導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的最值得關(guān)系，以及參數(shù)得取值范圍，關(guān)鍵時(shí)構(gòu)造函數(shù)，屬于中檔題．

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

12．已知函數(shù)f（x）=2x2-4tx+3在區(qū)間[-3，2]上單調(diào)，且函數(shù)f（x）的最小值為-13，求實(shí)數(shù)t的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

13．畫出下列函數(shù)的圖象，并根據(jù)圖象寫出單調(diào)減區(qū)間和值域．
（1）y=1+$\frac{|x|-x}{2}$；
（2）y=|x2-x|．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：選擇題

11．已知f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|≤$\frac{π}{2}$）是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，且當(dāng)x=2時(shí)，f（x）取得最大值2，則f（1）+f（2）+f（3）+…+f（100）=（　�。�
A．2+2$\sqrt{2}$B．2-2$\sqrt{2}$C．2±2$\sqrt{2}$D．0

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：選擇題

18．若存在過點(diǎn)O（0，0）的直線l與曲線f（x）=x3-3x2+2x和y=x2+a都相切，則a的值是（　�。�
A．1B．$\frac{1}{64}$C．1或$\frac{1}{64}$D．1或-$\frac{1}{64}$

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

8．已知函數(shù)f（x6）=log2x．
（1）求f（x）的解析式；
（2）求f（$\frac{1}{8}$）．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：選擇題

15．已知y=f（x）為R上的連續(xù)函數(shù)，其導(dǎo)數(shù)為f′（x），當(dāng)x≠0時(shí)，f′（x）＞$\frac{-f（x）}{x}$，則關(guān)于x的函數(shù)g（x）=f（x）+$\frac{1}{x}$的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（　　）
A．1B．0C．0或2D．2

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：選擇題

12．已知函數(shù)f（x）=ex-x2，g（x）=ax+b（a＞0），若對(duì)?x1∈[0，2]，?x2∈[0，2]，使得f（x1）=g（x2），則實(shí)數(shù)a，b的取值范圍是（　�。�
A．0＜a≤$\frac{{{e^2}-5}}{2}$，b≥1B．0＜a≤$\frac{{{e^2}-5}}{2}$，b≤1C．a≥$\frac{{{e^2}-5}}{2}$，b≥1D．a≥$\frac{{{e^2}-5}}{2}$，b≤1

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：填空題

13．若函數(shù)y=f（x）在定義域內(nèi)給定區(qū)間[a，b]上存在xo（a＜xo＜b），滿足f（xo）=$\frac{f（b）-f（a）}{b-a}$，則稱函數(shù)y=f（x）是[a，b]上的“平均值函數(shù)”，xo是它的一個(gè)均值點(diǎn)．例如y=|x|是區(qū)間[-2，2]上的“平均值函數(shù)”，O就是它的均值點(diǎn)．
（I）若函數(shù)f（x）=x2-mx-1是[-1，1]上的“平均值函數(shù)”，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（0，2）．
（II）若函數(shù)f（x）=lnx是區(qū)間[a，b]（b＞a≥1）上的“平均值函數(shù)”，xo是它的一個(gè)均值點(diǎn)，要使得lnx°＜$\frac{m}{{\sqrt{ab}}}$恒成立，參數(shù)m的取值范圍是[1，+∞）．

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