Question

設(shè)函數(shù)f（x）=x²+2ax-ln（1+x）+1．
（1）若函數(shù)f（x）的圖象在點(diǎn)（0，f（0））處的切線方程是x-y+b=0，求實(shí)數(shù)a，b的值；
（2）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（3）若方程f（x）=x²+（2a-）x+（a+1）在[0，2]上有兩個(gè)不等實(shí)根，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

解：（1）∵，f′（0）=1
∴2a-1=1，∴a=1
∵f（0）=1，函數(shù)f（x）的圖象在點(diǎn)（0，f（0））處的切線方程是x-y+b=0，
∴b=1，
故a=1，b=1．
（2）當(dāng)時(shí)，f（x）=x²+x-ln（1+x）+1，定義域?yàn)椋?1，+∞）
求導(dǎo)函數(shù)
令x＞-1，可得x≥0，令，x＞-1，可得-1＜x≤0，
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間為[0，+∞）；單調(diào)減區(qū)間為（-1，0]
（3）方程f（x）=x²+（2a-）x+（a+1）在[0，2]上有兩個(gè)不等實(shí)根，
等價(jià)于x-2ln（1+x）-a+1=0在[0，2]上有兩個(gè)不等實(shí)根
設(shè)g（x）=x-2ln（1+x）-a+1=0，x∈[0，2]，則
令g′（x）＞0，x＞-1可得x＞1，令g′（x）＜0，x＞-1，可得-1＜x＜1，
∴函數(shù)f（x）在[0，1）上單調(diào)減；在（1，2]上單調(diào)增區(qū)間
∴，∴
∴2-2ln2＜a＜3-2ln2
∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是（2-2ln2，3-2ln2）．
分析：（1）求導(dǎo)函數(shù)，利用函數(shù)f（x）的圖象在點(diǎn)（0，f（0））處的切線方程是x-y+b=0，進(jìn)口求實(shí)數(shù)a，b的值；
（2）求導(dǎo)函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)大于0，小于0，可確定函數(shù)的單調(diào)性；
（3）方程f（x）=x²+（2a-）x+（a+1）在[0，2]上有兩個(gè)不等實(shí)根，等價(jià)于x-2ln（1+x）-a+1=0在[0，2]上有兩個(gè)不等實(shí)根，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)可確定實(shí)數(shù)a的取值范圍．
點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查函數(shù)與方程的聯(lián)系，屬于中檔題