Question

直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=5，AC=4，BC=3，AA₁=4，點(diǎn)D在AB上．
（Ⅰ）求證：AC⊥B₁C；
（Ⅱ）若D是AB中點(diǎn)，求證：AC₁∥平面B₁CD；
（Ⅲ）當(dāng)

BD

AB

=

1

3

時(shí)，求二面角B-CD-B₁的余弦值．

Answer 1

分析：（I）要證明線與線垂直，根據(jù)所給的直三棱柱的側(cè)棱與底面垂直和根據(jù)三條邊長得到的勾股定理，得到線面垂直，進(jìn)而得到線線垂直．
（II）要證明線面平行，根據(jù)線面平行的判定定理，首先證明線與線平行，要寫清楚兩條線段的位置，得到結(jié)論．
（III）以C為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系C-xyz，寫出要用的點(diǎn)的坐標(biāo)，構(gòu)造向量，根據(jù)線段的比值，得到向量的坐標(biāo)，設(shè)出法向量，求出法向量，根據(jù)向量所成的角做出二面角．

解答：證明：（Ⅰ）在△ABC中，因?yàn)锳B=5，AC=4，BC=3，
所以AC²+BC²=AB²，所以AC⊥BC．
因?yàn)橹比�棱柱ABC-A₁B₁C₁，所以CC₁⊥AC．
因?yàn)锽C∩AC=C，
所以AC⊥平面BB₁C₁C．
所以AC⊥B₁C．
（Ⅱ）證明：連接BC₁，交B₁C于E，DE．
因?yàn)橹比�棱柱ABC-A₁B₁C₁，D是AB中點(diǎn)，
所以側(cè)面BB₁C₁C為矩形，DE為△ABC₁的中位線，
所以DE∥AC₁．
因?yàn)镈E?平面B₁CD，AC₁?平面B₁CD，
所以AC₁∥平面B₁CD．
（Ⅲ）解：由（Ⅰ）知AC⊥BC，
所以如圖，以C為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系C-xyz．
則B（3，0，0），A（0，4，0），A₁（0，0，c），B₁（3，0，4）．
設(shè)D（a，b，0）（a＞0，b＞0），
因?yàn)辄c(diǎn)D在線段AB上，且

BD

AB

=

1

3

，即

BD

=

1

3

BA

．
所以a=2，b=

4

3

，

BD

 =(-1，

4

3

，0)．
所以

B1C

=(3，0，4)，

BA

=(-3，4，0)，

CD

=(2，

4

3

，0)．
平面BCD的法向量為

n 1

=(0，0，1)．
設(shè)平面B₁CD的法向量為

n 2

=(x，y，1)，
由

B1C

•

n 2

=0，

CD

•

n 2

=0，得

3x+4=0 2x+ 4 3 y=0

，
所以x=-

4

3

，y=2，

n 2

=(-

4

3

，2，1)．
設(shè)二面角B-CD-B₁的大小為θ，
所以cosθ=

n 1 • n 2

| n 1 || n 2 |

=

3

61

．
所以二面角B-CD-B₁的余弦值為

3 61

61

．

點(diǎn)評：本題考查空間中直線與平面之間的平行和垂直關(guān)系，用空間向量求解兩個(gè)平面的夾角，本題解題的關(guān)鍵是建立坐標(biāo)系，把理論的推導(dǎo)轉(zhuǎn)化成數(shù)字的運(yùn)算．