Question

（1）已知函數(shù)f（x）的周期為4，且等式f（2+x）=f（2-x）對一切x∈R恒成立，求證f（x）為偶函數(shù)；
（2）設(shè)奇函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镽，且f（x+4）=f（x），當(dāng)x∈[4，6]時(shí)，f（x）=2^x+1，求f（x）在區(qū)間[-2，0]上的表達(dá)式．

Answer 1

（1）證明：∵f（2+x）=f（2-x）
∴f（2+（x+2））=f（2-（x+2）），即f（x+4）=f（-x）
又∵函數(shù)f（x）的周期為4
∴f（x+4）=f（x）
∴f（-x）=f（x）
又∵x∈R，定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱
∴函數(shù)f（x）是偶函數(shù)
（2）當(dāng)x∈[-2，0]時(shí)，-x∈[0，2]
∴-x+4∈[4，6]
又∵當(dāng)x∈[4，6]時(shí)，f（x）=2^x+1
∴f（-x+4）=2^-x+4+1
又∵f（x+4）=f（x）
∴函數(shù)f（x）的周期為T=4
∴f（-x+4）=f（-x）
又∵函數(shù)f（x）是R上的奇函數(shù)
∴f（-x）=-f（x）
∴-f（x）=2^-x+4+1
∴當(dāng)x∈[-2，0]時(shí)，f（x）=-2^-x+4-1