Question

(2006遼寧，22)已知，，其中．設，．

(1)寫出；

(2)證明：對任意的，，恒有．

Answer 1

答案：略
解析：

解析：(1)由已知推得，從而有． (2)證法一：當－1≤x≤1時， ， 當x＞0時，，所以F(x)在[0，1]上是增函數(shù)． 又F(x)是偶函數(shù)，所以F(x)在[－1，0]上是減函數(shù)． 所以對任意的，，恒有． ． ∵ ， ∴ ． 因此結論成立． 證法二：當－1≤x≤1時， ， 當x＞0時，，所以F(x)在[0，1]上是增函數(shù)． 又F(x)是偶函數(shù)，所以F(x)在[－1，0]上是減函數(shù)． 所以對任意的，，恒有． ， 又∵， ∴， ∴ ． 因此結論成立． 證法三：當－1≤x≤1時， ， 當x＞0時，，所以F(x)在[0，1]上是增函數(shù)． 又F(x)是偶函數(shù)，所以F(x)在[－1，0]上是減函數(shù)． 所以對任意的，，恒有． ， 由，得 ． ∴． 因此結論成立． 證法四：當－1≤x≤1時， ． 當x＞0時，，所以F(x)在[0，1]上是增函數(shù)． 又F(x)是偶函數(shù)，所以F(x)在[－1，0]上是減函數(shù)． 所以對任意的，，恒有． ∵ 對上式兩邊求導，得 ， ∴， ∴． ∴． 因此結論成立．