(Ⅰ)解:當(dāng)a=0時,f(x)=x
2e
x,f'(x)=(x
2+2x)e
x,故f'(1)=3e,
所以曲線y=f(x)在點(1,f(1))處的切線的斜率為3e,f(1)=e,
所以該切線方程為y-e=3e(x-1),
整理得:3ex-y-2e=0.
(Ⅱ)解:f'(x)=[x
2+(a+2)x-2a
2+4a]e
x令f'(x)=0,解得x=-2a,或x=a-2.由
知,-2a≠a-2.
以下分兩種情況討論.
①若a>
,則-2a<a-2.當(dāng)x變化時,f'(x),f(x)的變化情況如下表:
所以f(x)在(-∞,-2a),(a-2,+∞)內(nèi)是增函數(shù),在(-2a,a-2)內(nèi)是減函數(shù).
函數(shù)f(x)在x=-2a處取得極大值f(-2a),且f(-2a)=3ae
-2a.
函數(shù)f(x)在x=a-2處取得極小值f(a-2),且f(a-2)=(4-3a)e
a-2.
②若a<
,則-2a>a-2,當(dāng)x變化時,f'(x),f(x)的變化情況如下表:
所以f(x)在(-∞,a-2),(-2a,+∞)內(nèi)是增函數(shù),在(a-2,-2a)內(nèi)是減函數(shù)
函數(shù)f(x)在x=a-2處取得極大值f(a-2),且f(a-2)=(4-3a)e
a-2,
函數(shù)f(x)在x=-2a處取得極小值f(-2a),且f(-2a)=3ae
-2a.
分析:(Ⅰ)把a(bǔ)=0代入到f(x)中化簡得到f(x)的解析式,求出f'(x),因為曲線的切點為(1,f(1)),所以把x=1代入到f'(x)中求出切線的斜率,把x=1代入到f(x)中求出f(1)的值得到切點坐標(biāo),根據(jù)切點和斜率寫出切線方程即可;
(Ⅱ)令f'(x)=0求出x的值為x=-2a和x=a-2,分兩種情況討論:①當(dāng)-2a<a-2時和②當(dāng)-2a>a-2時,討論f'(x)的正負(fù)得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,根據(jù)函數(shù)的增減性即可得到函數(shù)的最值.
點評:考查學(xué)生會利用導(dǎo)數(shù)求曲線上過某點切線方程的斜率,會利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性以及根據(jù)函數(shù)的增減性得到函數(shù)的極值.靈活運用分類討論的數(shù)學(xué)思想解決數(shù)學(xué)問題.