Question

一個口袋內裝有大小相同的紅球和黑球共12個，已知從袋中任取2個球，得到2個都是黑球的概率為

1

22

．
（1）求這個口袋中原裝有紅球和黑球各幾個；
（2）從原袋中任取3個球，求取出的3個球中恰有1個黑球的概率及至少有1個黑球的概率．

Answer 1

分析：（1）設袋中裝有x個黑球，12-x個紅球，由題意，由等可能事件的概率可得

C 2 x

C 2 12

=

1

22

，解可得x的值，即可得答案；
（2）由組合數公式可得從原袋中任取3個球以及取出3個球中恰有一個黑球的情況數目，由等可能事件的概率公式計算可得答案，由組合數公式取出3個球都是紅球的情況數目，即可得其概率，進而由對立事件的概率性質計算可得答案．

解答：解：（1）設袋中裝有x個黑球，12-x個紅球，
則從中任取2個球，有C₁₂²種情況，而取出的全是黑球有C_x²種情況，
由題意，可得

C 2 x

C 2 12

=

1

22

，解可得，x=3，
∴原袋中裝有3個黑球，9個紅球．
（2）從原袋中任取3個球，有C₁₂³種情況，
取出3個球中恰有一個黑球即2紅1黑的情況有C₉²×C₃¹種，則其概率P₁=

C 2 9 C 1 3

C 3 12

=

27

55

，
取出3個球都是紅球的情況有C₉³種，則其概率P₂=

C 3 9

C 3 12

=

21

55

，
所以至少有1個黑球的概率P=1-P₂=

34

55

．

點評：本題考查等可能事件的概率計算，關鍵要熟練運用組合數公式，結合分步計數原理求出事件包含的情況數目．