Question

如圖，AB為圓O的直徑，C為圓O上一點(diǎn)，AP和過(guò)C的切線互相垂直，垂足為P，過(guò)B的切線交過(guò)C的切線于T，PB交圓O于Q，若∠BTC=120°，AB=4，則PQ•PB=    ．

Answer 1

【答案】分析：根據(jù)題意，圓的半徑等于2，設(shè)PT與AB交與點(diǎn)M，可得∠COB=60°=∠BTM，∠BMT=30°，利用直角三角形中的邊角關(guān)系求得TB、BM、MP的值，由切割線定理求得 MC，求得PC=MP-MC的值，據(jù)PQ•PB=PC² 求出結(jié)果．
解答：解：由題意可得，圓的半徑等于2，設(shè)PT與AB交與點(diǎn)M，∵∠BTC=120°，則∠COB=60°=∠BTM，∠BMT=30°．
TB=TC=OBtan30°=，∴BM==2．
由切割線定理可得 MC²=MB•MA=2（2+4）=12，∴MC=2．
∵cos∠BMT====，∴MP=3，∴PC=MP-MC=3-2=，
由切割線定理可得 PQ•PB=PC²=3，故答案為 3．
點(diǎn)評(píng)：本題考查切割線定理，直角三角形中的邊角關(guān)系，圓的切線性質(zhì)，求出切線長(zhǎng)PC 是解題的難點(diǎn)和關(guān)鍵．