Question

13．已知橢圓C₁：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0），其長軸長為4且離心率為$\frac{\sqrt{3}}{2}$，在橢圓C₁上任取一點P，過點P作圓C₂：x²+（y+3）²=2的兩條切線PM，PN，切點分別為M，N，則$\overrightarrow{{C}_{2}M}$•$\overrightarrow{{C}_{2}N}$的最小值為（　�。�

• A． -2
• B． -$\frac{3}{2}$
• C． -$\frac{18}{13}$
• D． 0

Answer 1

分析 由橢圓C₁的長軸長為4且離心率為$\frac{\sqrt{3}}{2}$，可得2a=4，$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，a²=b²+c²，解得a，b，可得橢圓C₁的標準方程為：$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1．不妨設∠MC₂N=2θ，由對稱性可得：∠PC₂M=∠PC₂N=θ，可得$\overrightarrow{{C}_{2}M}$•$\overrightarrow{{C}_{2}N}$=4cos²θ-2=$\frac{8}{|P{C}_{2}{|}^{2}}$-2，再設點P（x，y），可得x²=4-4y²，點C₂（0，-3），$|P{C}_{2}{|}^{2}$=-3（y-1）²+16，可得$|P{C}_{2}{|}^{2}$的最大值為16．即可得出$\overrightarrow{{C}_{2}M}$•$\overrightarrow{{C}_{2}N}$的最小值．

解答 解：由橢圓C₁：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0），其長軸長為4且離心率為$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴2a=4，$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，a²=b²+c²，解得a=2，b=1，
∴橢圓C₁的標準方程為：$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1．
不妨設∠MC₂N=2θ，由對稱性可得：∠PC₂M=∠PC₂N=θ，
則$\overrightarrow{{C}_{2}M}$•$\overrightarrow{{C}_{2}N}$=$|\overrightarrow{{C}_{2}M}|$|C₂N|cos∠MC₂N=$\sqrt{2}×\sqrt{2}cos2θ$=2（2cos²θ-1）
=4cos²θ-2=$4×（\frac{\sqrt{2}}{|P{C}_{2}|}）^{2}$-2=$\frac{8}{|P{C}_{2}{|}^{2}}$-2，
再設點P（x，y），則$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}$=1，可得x²=4-4y²，點C₂（0，-3），
$|P{C}_{2}{|}^{2}$=x²+（y+3）²=4-4y²+y²+6y+9=-3（y-1）²+16，
∵-1≤y≤1，∴當y=1時，$|P{C}_{2}{|}^{2}$的最大值為16．
因此$\overrightarrow{{C}_{2}M}$•$\overrightarrow{{C}_{2}N}$的最小值為$\frac{8}{16}$-2=-$\frac{3}{2}$，
故選：B．

點評 本題考查了橢圓的定義標準方程及其性質、圓的標準方程及其性質、圓的切線的性質、數(shù)量積運算性質、兩點之間的距離公式、二次函數(shù)的性質，考查了數(shù)形結合方法、推理能力與計算能力，屬于難題．