Question

17．已知單位向量$\overrightarrow{{e}_{1}}$，$\overrightarrow{{e}_{2}}$的夾角為60°，則向量$\overrightarrow{{e}_{1}}+\overrightarrow{{e}_{2}}$與$\overrightarrow{{e}_{2}}-2\overrightarrow{{e}_{1}}$的夾角為$\frac{2}{3}π$．

Answer 1

分析 分別求出|$\overrightarrow{{e}_{1}}$+$\overrightarrow{{e}_{2}}$|，|$\overrightarrow{{e}_{2}}-2\overrightarrow{{e}_{1}}$|，（$\overrightarrow{{e}_{1}}$+$\overrightarrow{{e}_{2}}$）（$\overrightarrow{{e}_{2}}-2\overrightarrow{{e}_{1}}$），從而代入求余弦值，從而求角．

解答 解：∵單位向量$\overrightarrow{{e}_{1}}$，$\overrightarrow{{e}_{2}}$的夾角為60°，
∴|$\overrightarrow{{e}_{1}}$+$\overrightarrow{{e}_{2}}$|=$\sqrt{{\overrightarrow{{e}_{1}}}^{2}+{\overrightarrow{{e}_{2}}}^{2}+2\overrightarrow{{e}_{1}}\overrightarrow{{e}_{2}}}$=$\sqrt{1+1+2•1•1•cos60°}$=$\sqrt{3}$，
|$\overrightarrow{{e}_{2}}-2\overrightarrow{{e}_{1}}$|=$\sqrt{1+4-2•1•1•2•cos60°}$=$\sqrt{3}$，
（$\overrightarrow{{e}_{1}}$+$\overrightarrow{{e}_{2}}$）（$\overrightarrow{{e}_{2}}-2\overrightarrow{{e}_{1}}$）=-$\overrightarrow{{e}_{1}}$•$\overrightarrow{{e}_{2}}$-2${\overrightarrow{{e}_{1}}}^{2}$+${\overrightarrow{{e}_{2}}}^{2}$=-$\frac{1}{2}$-2+1=-$\frac{3}{2}$，
設(shè)向量$\overrightarrow{{e}_{1}}+\overrightarrow{{e}_{2}}$與$\overrightarrow{{e}_{2}}-2\overrightarrow{{e}_{1}}$的夾角為θ，
則cosθ=$\frac{-\frac{3}{2}}{\sqrt{3}•\sqrt{3}}$=-$\frac{1}{2}$，
故θ=$\frac{2}{3}π$，
故答案為：$\frac{2}{3}π$．

點評 本題考查了平面向量的數(shù)量積的定義及運算，屬于中檔題．