Question

已知函數(shù)f（x）=，（a＞0且a≠1）．
（1）判斷f（x）的奇偶性，并加以證明；
（2）設(shè)g（x）=log_a（x-3），若方程f（x）-1=g（x）有實(shí)根，求a的取值范圍；
（3）是否存在實(shí)數(shù)m使得f（x+2）+f（m-x）為常數(shù)？若存在，求出m的值；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

解：（1）f（x）為奇函數(shù)，
由得，（x-5）（x+5）＞0，解得x＞5或x＜-5，
∴函數(shù)的定義域是{x|x＞5或x＜-5}，
∵f（-x）==-f（x）
∴f（x）為奇函數(shù)；
（2）方程在（5，+∞）上有解，
設(shè)，則對(duì)稱(chēng)軸
①時(shí)，即且a≠1，則h（5）＜0，無(wú)解；
②時(shí)，即，則△≥0解得，
綜上，
法二：在（5，+∞）有解，設(shè)x-5=t，則t∈（0，+∞）
設(shè)，則，
∵，當(dāng)且僅當(dāng)取等號(hào)，
∴值域?yàn)?img class='latex' src='http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/414150.png' />，
∴，
（3）若存在這樣的m，則

∴為常數(shù)，
設(shè)，
則（k-1）x²+（m-2）（1-k）x-3（m-5）-7k（m+5）=0對(duì)定義域內(nèi)的x恒成立，
∴，解得，
所以存在這樣的m=-2．
分析：（1）先由對(duì)數(shù)的真數(shù)大于零和分式不等式的解法，求出函數(shù)的定義域，利用奇偶函數(shù)定義進(jìn)行判定，得到f（-x）=-f（x），所以說(shuō)明f（x）為奇函數(shù)；
（2）由題意得在（5，+∞）上有解，設(shè)，求出對(duì)稱(chēng)軸并對(duì)其分類(lèi)討論，借助于二次函數(shù)得到求出a的范圍，
法二：利用分離常數(shù)法得在（5，+∞）上有解，設(shè)x-5=t，求出t的范圍代入解析式后化簡(jiǎn)，利用基本不等式求出a的范圍；
（3）假設(shè)存在這樣的m滿足條件，由對(duì)數(shù)的運(yùn)算對(duì)f（x+2）+f（m-x）化簡(jiǎn)和設(shè)值，轉(zhuǎn)化為：（k-1）x²+（m-2）（1-k）x-3（m-5）-7k（m+5）=0對(duì)定義域內(nèi)的x恒成立，列出等價(jià)方程組進(jìn)行求解．
點(diǎn)評(píng)：本題對(duì)數(shù)函數(shù)奇偶性的判斷，對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)應(yīng)用，基本不等式求函數(shù)最值的應(yīng)用，方程的根與函數(shù)之間的轉(zhuǎn)化問(wèn)題，以及存在性的問(wèn)題的處理等，重點(diǎn)是轉(zhuǎn)化思想的運(yùn)用，綜合性強(qiáng)，難度較大．